Spazio delle successioni

In matematica, in particolare in analisi funzionale, lo spazio delle successioni è uno spazio funzionale formato da tutte le successioni reali o complesse. Si tratta dell'insieme delle funzioni definite sull'insieme dei numeri naturali $\mathbb{N}$ a valori in $ℝ$ o $ℂ$.

Definendo una somma, detta puntuale:

$(x_n{)}_{n=1}^{\mathrm{\infty }}+(y_n{)}_{n=1}^{\mathrm{\infty }}:=(x_n+y_n{)}_{n=1}^{\mathrm{\infty }}$

e un prodotto per scalari:

$\lambda (x_n{)}_{n=1}^{\mathrm{\infty }}:=(\lambda x_n{)}_{n=1}^{\mathrm{\infty }}$

lo spazio delle successioni viene dotato della struttura di spazio vettoriale.

Solitamente, vengono studiati appropriati sottospazi dello spazio di tutte le successioni. Un caso importante è dato dagli spazi l^p, solitamente denotati con ${\ell }^p$, cioè gli spazi delle successioni tali che:

$\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}|x_k{|}^p<\mathrm{\infty }$

Essi infatti risultano essere spazi di Banach per $1\le p\le \mathrm{\infty }$. Due sottocasi importanti del precedente sono lo spazio delle successioni limitate ${\ell }^{\mathrm{\infty }}$ e lo spazio delle successioni ${\ell }^2$, che è uno spazio di Hilbert.

Un sottospazio vettoriale di ${\ell }^{\mathrm{\infty }}$ è lo spazio c delle successioni convergenti, formato da tutti gli $x\in K^N$ tali che $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{x}_n$ esiste. Si tratta di uno spazio chiuso rispetto alla norma $\Vert \cdot {\Vert }_{\mathrm{\infty }}$, ed è pertanto uno spazio di Banach. Lo spazio c₀ delle successioni convergenti a zero è un sottospazio chiuso di c, e dunque anch'esso uno spazio di Banach.

Spazi ℓ^p

Per $0<p<\mathrm{\infty }$, ${\ell }^p$ è il sottospazio di $K^N$ formato dalle successioni $x=(x_n)$ tali che:

$\sum _n|x_n{|}^p<\mathrm{\infty }$

Se $p\ge 1$ allora l'operazione $\Vert \cdot {\Vert }_p\to ℝ$ definita da:

$\Vert x{\Vert }_p={(\sum _n|x_n{|}^p)}^{1/p}$

definisce una norma su ${\ell }^p$. Lo spazio ${\ell }^p$ è uno spazio metrico completo rispetto a tale norma, e dunque è uno spazio di Banach.

Se $0<p<1$ lo spazio ${\ell }^p$ non è munito di una norma, ma è caratterizzato da una distanza:

$d(x,y)=\sum _n|x_n-y_n{|}^p$

Se $p=\mathrm{\infty }$ allora ${\ell }^{\mathrm{\infty }}$ è lo spazio di tutte le successioni limitate. Rispetto alla norma:

$\Vert x{\Vert }_{\mathrm{\infty }}=\underset{n}{\sup }|x_n|$

è anche uno spazio di Banach.

Lo spazio ℓ²

Template:Vedi anche Si definisce spazio ${\ell }^2$ lo spazio delle successioni reali o complesse definito nel modo seguente:

${\ell }^2(ℝ)=\{\{x_n{\}}_{n\in \mathbb{N}},x_i\in ℝ|\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}|x_k{|}^2<\mathrm{\infty }\}$

Lo spazio ${\ell }^2$ è uno spazio vettoriale. Inoltre è uno spazio metrico se definiamo la distanza come:

$d(\overrightarrow{x},\overrightarrow{y})={(\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}|x_k-y_k{|}^2)}^{\frac{1}{2}}$

La dimostrazione è fatta utilizzando la disuguaglianza di Minkowski e la disuguaglianza di Hölder. Inoltre è uno spazio che ammette sottoinsiemi numerabili densi e ciò ci dice che è anche separabile.

I sottospazi c e c₀

Lo spazio c è lo spazio vettoriale formato da tutte le successioni convergenti $(x_n)$ di numeri reali o complessi.

Definendo una norma uniforme:

$\Vert x{\Vert }_{\mathrm{\infty }}=\underset{n}{\sup }|x_n|$

lo spazio c diventa uno spazio di Banach. Si tratta di un sottospazio vettoriale chiuso dello spazio delle successioni limitate ${\ell }^{\mathrm{\infty }}$, e contiene a sua volta (come suo sottospazio chiuso) lo spazio di Banach c₀ delle successioni che convergono a zero.

Lo spazio duale c* di c è isometricamente isomorfo a ${\ell }^1$, come lo è il duale c*₀ di c₀. In particolare, né c né c₀ sono riflessivi. L'isomorfismo di ${\ell }^1$ con c* è dato dal fatto che se $(x_0,x_1,\dots )\in {\ell }^1$ allora l'accoppiamento con un elemento $(y_1,y_2,\dots )$ di c è dato da:

$x_0\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{y}_n+\sum _{i=1}^{\mathrm{\infty }}{x}_i{y}_i$

Si tratta di una versione del teorema di rappresentazione di Riesz. Per c₀ l'accoppiamento tra $(x_i)\in {\ell }^1$ e $(y_i)$ in c₀ è invece definito da:

$\sum _{i=0}^{\mathrm{\infty }}{x}_i{y}_i$

Spazio delle serie limitate

Lo spazio delle serie limitate, denotato con bs, è lo spazio delle successioni $x$ tali che:

$\underset{n}{\sup }\left|\sum _{i=0}^n{x}_i\right|<\mathrm{\infty }$

Definendo la norma:

$\Vert x{\Vert }_{bs}=\underset{n}{\sup }\left|\sum _{i=0}^n{x}_i\right|$

lo spazio bs è uno spazio di Banach isometricamente isomorfo a ${\ell }^{\mathrm{\infty }}$ mediante la corrispondenza lineare:

$(x_n{)}_{n\in \mathbb{N}}\mapsto {\left(\sum _{i=0}^n{x}_i\right)}_{n\in \mathbb{N}}$

Il sottospazio cs è composto da tutte le serie convergenti. Lo spazio Φ o c₀₀ è inoltre definito come lo spazio delle successioni infinite che possiedono un numero finito di termini non nulli (a supporto finito).

Esempi

• Lo spazio delle successioni convergenti:

$c=\{(x_n{)}_{n=1}^{\mathrm{\infty }}:\mathrm{\exists }M\text{ tale che }\underset{n}{\lim }|x_n-M|=0\}$

• Lo spazio delle successioni infinitesime $c_0$, un sottocaso del precedente che si ottiene con $M=0$.
• Lo spazio $\mathrm{\Phi }$ delle funzioni a supporto finito (cioè non nulle solo per un numero finito di indici).
• Lo spazio di Baire delle successioni di numeri naturali.

Bibliografia

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Voci correlate

• Spazio l2
• Spazio Lp
• Successione (matematica)