Insieme denso

In matematica, un sottoinsieme di uno spazio topologico è denso nello spazio topologico se ogni elemento dello spazio appartiene all'insieme o ne è un punto di accumulazione.

Nel caso di un insieme di numeri reali, ad esempio, per ogni coppia di numeri distinti vi è sempre un elemento dell'insieme compreso tra i due. I numeri razionali e i numeri irrazionali sono due insiemi densi, mentre i numeri interi non lo sono.

Definizione

Sia $X$ uno spazio topologico. Un sottoinsieme $A$ di $X$ è denso in $X$ se l'unico sottoinsieme chiuso di $X$ contenente $A$ è $X$ stesso, ovvero la chiusura di $A$ è $X$.

Le seguenti definizioni sono inoltre equivalenti a quella data. $A$ è denso in $X$ se e solo se:

• Ogni sottoinsieme aperto non vuoto di $X$ interseca $A$.
• Il complementare di $A$ ha parte interna vuota.
• Ogni punto di $X$ o appartiene ad $A$ o è un punto di accumulazione per $A$.

Esempi

• Ogni spazio topologico $S$ è denso in sé stesso; tutti gli altri chiusi di $S$ e tutti i sottoinsiemi di essi non sono densi in $S$.
• Lo spazio dei numeri reali con l'usuale topologia euclidea ha gli insiemi dei numeri razionali, dei numeri irrazionali, dei numeri algebrici, dei numeri trascendenti e il complementare dell'insieme di Cantor come sottoinsiemi densi.
• Se $A\subseteq B\subseteq C$ e $A$ è denso in $C$, allora anche $B$ è denso in $C$.
• Se un sottoinsieme è denso in una topologia, allora è denso anche in ogni topologia meno fine.
• Il complementare di un insieme mai denso è denso.
• Nel piano, una superficie senza bordo è densa nell'insieme formato dalla stessa superficie con bordo.
• Teorema di approssimazione di Weierstrass: i polinomi sono densi nell'insieme $C[a,b]$ delle funzioni continue sull'intervallo $[a,b]$, dotato della distanza

$d_{\mathrm{\infty }}(f,g)=\underset{x\in [a,b]}{\max }|f(x)-g(x)|$

• Uno spazio metrico $M$ è denso nel suo completamento $\gamma M$

Bibliografia

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Voci correlate

• spazio separabile, uno spazio con un sottoinsieme denso numerabile
• ordine denso, la nozione di "densità" in teoria degli ordini
• insieme mai denso, un insieme che non è denso in alcun aperto

Collegamenti esterni

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