Spazio riflessivo

In matematica, in particolare in analisi funzionale, uno spazio di Banach (o più in generale uno spazio vettoriale topologico localmente convesso) è detto spazio riflessivo se coincide con il duale continuo del suo spazio duale continuo (cioè il suo biduale), sia come spazio vettoriale, sia come spazio topologico.

Spazi di Banach

Sia $X$ uno spazio vettoriale normato sul campo $𝔽=ℝ$ o $𝔽=ℂ$, e con norma $\Vert \cdot \Vert$. Si consideri il suo spazio duale continuo $X^{\prime }$, che consiste in tutti i funzionali lineari continui $f:X\to 𝔽$ ed in cui è definita la norma duale $\Vert \cdot {\Vert }^{\prime }$ data da:

$\Vert f{\Vert }^{\prime }=\sup \{|f(x)|:x\in X,\Vert x\Vert \le 1\}$

Il duale $X^{\prime }$ è uno spazio di Banach, e il suo duale $X^{″}=(X^{\prime }{)}^{\prime }$ è detto biduale di $X$. Si tratta dell'insieme di tutti i funzionali lineari $h:X^{\prime }\to 𝔽$ ed è fornito della norma $\Vert \cdot {\Vert }^{″}$, duale di $\Vert \cdot {\Vert }^{\prime }$. A ogni vettore $x\in X$ può essere associato un funzionale scalare $J(x):X^{\prime }\to 𝔽$ nel modo seguente:

$J(x)(f)=f(x)f\in X^{\prime }$

dove $J(x)$ è un funzionale lineare continuo su $X^{\prime }$, ovvero $J(x)\in X^{″}$. Si ottiene in questo modo la funzione:

$J:X\to X^{″}$

detta mappa di valutazione, che è lineare. Segue dal teorema di Hahn-Banach che $J$ è una funzione iniettiva e che preserva la norma:

$\mathrm{\forall }x\in X\Vert J(x){\Vert }^{″}=\Vert x\Vert$

ovvero $J$ mappa $X$ isometricamente nella sua immagine $J(X)$ in $X^{″}$. L'immagine $J(X)$ non è necessariamente uguale a $X^{″}$.

Uno spazio normato $X$ è riflessivo se soddisfa le seguenti condizioni equivalenti:

• La mappa di valutazione $J:X\to X^{″}$ è suriettiva.
• La mappa di valutazione $J:X\to X^{″}$ è un isomorfismo isometrico tra spazi normati.
• La mappa di valutazione $J:X\to X^{″}$ è un isomorfismo tra spazi normati.

Uno spazio riflessivo $X$ è uno spazio di Banach dal momento che $X$ è (per quanto detto sopra) isometrico allo spazio di Banach $X^{″}$.

Da notare che uno spazio di Banach è riflessivo se è linearmente isometrico al suo biduale rispetto a $J$, ma si dimostra che esiste uno spazio $X$ non riflessivo che è linearmente isometrico a $X^{″}$.

Uno spazio di Banach è detto quasi-riflessivo (o di ordine $d$) se il quoziente $X^{″}/J(X)$ ha dimensione finita $d$.

Proprietà

• Se uno spazio di Banach $Y$ è isomorfo a uno spazio di Banach riflessivo $X$, allora $Y$ è riflessivo.
• Ogni sottospazio vettoriale chiuso di uno spazio riflessivo è riflessivo. Il duale di uno spazio riflessivo è riflessivo. Il quoziente di uno spazio riflessivo per un suo sottospazio vettoriale chiuso è riflessivo.
• Se $X$ è uno spazio di Banach, le seguenti affermazioni sono equivalenti:
  • $X$ è riflessivo.
  • Il duale di $X$ è riflessivo.
  • La sfera unitaria chiusa in $X$ è compatta nella topologia debole (teorema di Kakutani).
  • Ogni successione limitata in $X$ possiede una sottosuccessione debolmente convergente, dal momento che compattezza debole e compattezza sequenziale debole coincidono per il teorema di Eberlein-Šmulian.
  • Ogni funzionale lineare continuo su $X$ raggiunge il suo valore massimo sulla sfera unitaria in $X$ (teorema di James).

Dalla terza proprietà segue che i sottoinsiemi convessi chiusi e limitati di uno spazio riflessivo $X$ sono debolmente compatti. In questo modo, per ogni successione decrescente di insiemi convessi, chiusi, limitati e non vuoti di $X$, la loro intersezione non è vuota. Come conseguenza, ogni funzione convessa continua $f$ definita su un sottoinsieme convesso e chiuso $C\subset X$, e tale per cui l'insieme:

$C_t=\{x\in C:f(x)\le t\}$

è non vuoto e limitato per ogni $t\in ℝ$, raggiunge il suo minimo valore su $C$.

• Gli spazi di Banach riflessivi sono frequentemente caratterizzati tramite le loro proprietà geometriche. Se $C$ è un sottoinsieme convesso e chiuso dello spazio riflessivo $X$, allora per ogni $x\in X$ esiste $c\in C$ tale che $\Vert x-c\Vert$ minimizza la distanza tra $x$ e i punti di $C$. Si nota che mentre la minima distanza tra $x$ e $C$ è unicamente definita dalla scelta di $x$, lo stesso non si può dire per il punto $c$: il punto più vicino $c$ è unico quando $X$ è uniformemente convesso.
• Uno spazio di Banach riflessivo è separabile se e solo se lo è il suo duale. Ciò segue dal fatto che per ogni spazio normato $Y$ la separabilità del duale $Y^{\prime }$ implica la separabilità di $Y$ stesso.

Spazi superriflessivi

Uno spazio di Banach $Y$ è finitamente rappresentabile in uno spazio di Banach $X$ se per ogni sottospazio $Y_0$ di $Y$ che ha dimensione finita e per ogni $ϵ>0$ esiste un sottospazio $X_0$ di $X$ tale per cui la distanza moltiplicativa di Banach-Mazur tra $X_0$ e $Y_0$ soddisfa:

$d(X_0,Y_0)<1+\epsilon$

Uno spazio di Banach finitamente rappresentabile in ${\ell }^2$ è uno spazio di Hilbert, ed ogni spazio di Banach è finitamente rappresentabile nello spazio delle successioni $c_0$. Lo spazio Lp $L^p[0,1]$ è inoltre finitamente rappresentabile in ${\ell }^p$.

Uno spazio di Banach $X$ è detto superriflessivo se tutti gli spazi di Banach $Y$ finitamente rappresentabili in $X$ sono riflessivi, ovvero se nessuno spazio non riflessivo $Y$ è finitamente rappresentabile in $X$.

Un risultato che si deve a R. C. James mostra che uno spazio è superriflessivo se e solo se lo è il suo duale.

Spazi localmente convessi

Il concetto di spazio di Banach riflessivo può essere generalizzato considerando spazi localmente convessi. Sia $X$ uno spazio vettoriale topologico su $ℝ$ o $ℂ$. Si consideri il suo spazio duale $X{\text{'}}_{\beta }$ relativamente alla topologia forte, che è formato da tutti i funzionali lineari continui $f:X\to 𝔽$ e munito della topologia forte $\beta (X^{\prime },X)$, ovvero la topologia associata alla convergenza uniforme di sottoinsiemi limitati di $X$. Lo spazio $X^{\prime }$ è uno spazio vettoriale topologico localmente convesso, e si può quindi considerare il suo duale $\beta ((X{\text{'}}_{\beta }{)}^{\prime },X{\text{'}}_{\beta })$ (relativamente alla topologia forte), detto biduale forte di $X$. Si tratta dello spazio formato da tutti i funzionali lineari $h:X{\text{'}}_{\beta }\to 𝔽$ e in esso è definita la topologia forte $\beta ((X{\text{'}}_{\beta }{)}^{\prime },X{\text{'}}_{\beta })$. Ogni vettore $x\in X$ genera una funzione $J(x):X{\text{'}}_{\beta }\to 𝔽$ per mezzo della formula:

$J(x)(f)=f(x)f\in X^{\prime }$

che è un funzionale lineare continuo su $X{\text{'}}_{\beta }$, ovvero $J(x)\in (X{\text{'}}_{\beta }){\text{'}}_{\beta }$. Si ottiene la mappa di valutazione:

$J:X\to (X{\text{'}}_{\beta }){\text{'}}_{\beta }$

che è lineare. Se $X$ è localmente convesso, dal teorema di Hahn-Banach si ha che $J$ è una funzione iniettiva e aperta (cioè per ogni intorno $U$ dello zero in $X$ esiste un intorno $V$ dello zero in $(X{\text{'}}_{\beta }){\text{'}}_{\beta }$ tale che $J(U)\supseteq V\cap J(X)$). Tuttavia può essere non suriettiva, né continua.

Uno spazio localmente convesso $X$ è detto:

• semi-riflessivo se la mappa di valutazione $J:X\to (X{\text{'}}_{\beta }){\text{'}}_{\beta }$ è suriettiva.
• riflessivo se la mappa di valutazione $J:X\to (X{\text{'}}_{\beta }){\text{'}}_{\beta }$ è suriettiva e continua. In tal caso $J$ è un isomorfismo tra spazi vettoriali topologici.

Si dimostra che uno spazio di Hausdorff $X$ localmente convesso è semi-riflessivo se e solo se $X$ con la topologia $\sigma (X,X^{*})$ ha la proprietà che i suoi sottoinsiemi chiusi e limitati sono debolmente compatti.

Uno spazio localmente convesso $X$ è riflessivo se e solo se è semi-riflessivo ed è uno spazio botte. Inoltre, il duale (rispetto alla topologia forte) di uno spazio semi-riflessivo è uno spazio botte.

Bibliografia

• Template:En J.B. Conway, A Course in Functional Analysis, Springer, 1985.
• Template:En Template:Cita libro
• Template:En B. Beauzamy, Introduction to Banach spaces and their geometry , North-Holland (1982)
• Template:En M.M. Day, Normed linear spaces , Springer (1973)
• Template:En D. van Dulst, Reflexive and superreflexive Banach spaces , MC Tracts , 102 , Math. Centre (1978)

Voci correlate

• Funzionale lineare
• Norma duale
• Spazio di Banach
• Spazio duale
• Spazio localmente convesso
• Spazio normato
• Spazio topologico
• Spazio vettoriale
• Topologia polare

Collegamenti esterni

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