Norma uniforme

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Rappresentazione geometrica in ${ℝ}^2$ di $\Vert x{\Vert }_{\mathrm{\infty }}=1$

In analisi matematica, la norma uniforme, norma del sup o norma di Chebyshev di una funzione $f$ definita in un dominio $D$ a valori reali o complessi è la quantità non negativa:

$\Vert f{\Vert }_{\mathrm{\infty }}=\underset{x\in D}{\sup }|f(x)|$

Se $f$ non è una funzione limitata in $D$, questa quantità risulta infinita (ad esempio per la funzione esponenziale in $ℝ$). Restringendosi invece allo spazio vettoriale delle funzioni definite in $D$ e limitate, $||\cdot |{|}_{\mathrm{\infty }}$ assume sempre valore finito e soddisfa le proprietà di una norma.

Se $f$ è una funzione continua su un insieme compatto, allora l'estremo superiore è raggiunto per il teorema di Weierstrass, quindi possiamo sostituire l'estremo superiore con il massimo. In questo caso, la norma è anche chiamata norma del massimo.

In particolare, nel caso di un vettore $x=(x_1,...,x_n)$ in uno spazio di dimensione finita, prende la forma:

$\Vert x{\Vert }_{\mathrm{\infty }}=\max \{|x_1|,...,|x_n|\}$

La ragione del pedice "∞" è data dal seguente limite, valido se $f\in L^{\mathrm{\infty }}(D)$ e la misura di $D$ è finita:

$\underset{p\to \mathrm{\infty }}{\lim }\Vert f{\Vert }_p=\Vert f{\Vert }_{\mathrm{\infty }}$

dove:

$\Vert f{\Vert }_p={\left(\underset{D}{\int }{\left|f\right|}^{p}d\mu \right)}^{1/p}$

dove $\Vert \cdot {\Vert }_p$ è la norma p (e l'integrale diventa una somma se $D$ è un insieme discreto).

La funzione binaria:

$d(f,g)=\Vert f-g{\Vert }_{\mathrm{\infty }}$

è quindi una metrica nello spazio di tutte le funzioni limitate nel particolare dominio. Una successione $\{f_n:n=1,2,3,\dots \}$ converge uniformemente alla funzione $f$ se e solo se:

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\Vert f_n-f{\Vert }_{\mathrm{\infty }}=0$

Bibliografia

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Voci correlate

• Distanza di Čebyšëv
• Geometria del taxi
• Norma (matematica)
• Norma operatoriale
• Operatore limitato
• Spazio Lp
• Successione di funzioni
• Topologia operatoriale

Collegamenti esterni

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