Disuguaglianza di Minkowski

In matematica, la disuguaglianza di Minkowski è una disuguaglianza che porta il nome di Hermann Minkowski. Segue dalla disuguaglianza di Hölder.

La disuguaglianza

Sia $\mathrm{\Omega }$ uno spazio di misura con misura $\mu$, e sia $p\ge 1$. Allora, se $f$ e $g$ sono funzioni misurabili in $L^p(\mathrm{\Omega })$ si ha:

${(\underset{\mathrm{\Omega }}{\int }(f+g{)}^{p}d\mu )}^{\frac{1}{p}}\le {\left(\underset{\mathrm{\Omega }}{\int }{f}^{p}d\mu \right)}^{\frac{1}{p}}+{\left(\underset{\mathrm{\Omega }}{\int }{g}^{p}d\mu \right)}^{\frac{1}{p}}$

In modo equivalente:

$\Vert f+g{\Vert }_p\le \Vert f{\Vert }_p+\Vert g{\Vert }_p$

Attraverso quest'ultima formulazione, la disuguaglianza di Minkowski si generalizza al caso $p=\mathrm{\infty }$. Dalla disuguaglianza di Minkowski segue che $L^p(\mathrm{\Omega })$ è uno spazio normato, in quanto vale la disuguaglianza triangolare. In particolare, $L^p(\mathrm{\Omega })$ è uno spazio di Banach per ogni $1\le p\le \mathrm{\infty }$. Nel caso in cui lo spazio di misura sia l'insieme dei naturali $\mathbb{N}$ con la misura del conteggio $\mu (A)=\mathrm{\#}A$, allora per ogni coppia di successioni $(a_i{)}_{i\ge 1}$ e $(b_i{)}_{i\ge 1}$ in $l^p(\mathbb{N})$ la disuguaglianza di Minkowski si scrive:

${(\sum _{i=1}^{\mathrm{\infty }}|a_i+b_i{|}^p)}^{1/p}\le {(\sum _{i=1}^{\mathrm{\infty }}|a_i{|}^p)}^{1/p}+{(\sum _{i=1}^{\mathrm{\infty }}|b_i{|}^p)}^{1/p}$

Minkowski per gli integrali

Siano $(X,ℳ,\mu )$ e $(Y,𝒩,\nu )$ due spazi di misura $\sigma$-finiti, e sia $f$ una funzione $(ℳ\otimes 𝒩)$-misurabile. Se $f\ge 0$, allora per ogni $1\le p<\mathrm{\infty }$

${(\int {(\int f(x,y)d\nu (y))}^{p}d\mu (x))}^{\frac{1}{p}}\le \int {(\int f(x,y{)}^{p}d\mu (y))}^{\frac{1}{p}}d\nu (x)$

In particolare, da ciò ne consegue che se $f(\cdot ,y)\in L^p(\mu )$ per quasi ogni $y\in Y$, con $1\le p\le \mathrm{\infty }$, e se la funzione $y\mapsto \Vert f(\cdot ,y){\Vert }_p$ sta in $L^1(\nu )$, allora

${\Vert \int f(\cdot ,y)d\nu (y)\Vert }_p\le \int \Vert f(\cdot ,y){\Vert }_{p}d\nu (y)$

Bibliografia

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Voci correlate

• Disuguaglianza di Hölder
• Distanza di Minkowski

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