Spazio Lp

Template:Titolo errato In matematica, e più precisamente in analisi funzionale, lo spazio $L^p$ è lo spazio delle funzioni a p-esima potenza sommabile. Si tratta di uno spazio funzionale i cui elementi sono particolari classi di funzioni misurabili.

Lo spazio delle successioni a p-esima potenza sommabile è inoltre detto spazio $l^p$. In particolare, lo spazio l² delle successioni a quadrato sommabile rappresenta un caso di notevole importanza.

Gli spazi $L^p$, con $1\le p\le \mathrm{\infty }$, sono spazi di Banach. In particolare, $L^2$ è anche uno spazio di Hilbert.

Definizione

Sia $(X,𝔐,\mu )$ uno spazio di misura e sia $1\le p\le \mathrm{\infty }$. Sia inoltre $f:X⟶ℝ$ una funzione misurabile. Si distinguono i seguenti due casi.

Caso p finito

Si definisce norma p-esima o norma $L^p$ di $f$ il numero

$\Vert f{\Vert }_p={(\underset{X}{\int }|f{|}^{p}d\mu )}^{\frac{1}{p}}.$

Valgono le seguenti due proprietà: l'omogeneità rispetto al prodotto per scalare,

$\Vert \lambda f{\Vert }_p=|\lambda |\Vert f{\Vert }_p,$

e la disuguaglianza triangolare,

$\Vert f+g{\Vert }_p\le \Vert f{\Vert }_p+\Vert g{\Vert }_p.$

Lo spazio $L^p(X,𝔐,\mu )=\{f:X⟶ℝ\text{ misurabili}:\Vert f{\Vert }_p<\mathrm{\infty }\}$ delle funzioni misurabili con norma $L^p$ finita, indicato anche come $L^p(X)$, $L^p(\mu )$ o solo $L^p$ risulta essere, per le suddette proprietà della norma $\Vert \cdot {\Vert }_p$, uno spazio vettoriale reale. Le funzioni in $L^p$ si dicono a p-esima potenza sommabile. In particolare, dalla disuguaglianza triangolare segue che la somma di due o più funzioni $p$-sommabili è ancora $p$-sommabile. A rigore, la norma $\Vert \cdot {\Vert }_p$ è una seminorma a causa della presenza di funzioni nulle quasi ovunque. Per rendere $\Vert \cdot {\Vert }_p$ una norma si definisce $f=g$ se $\Vert f-g{\Vert }_p=0$, cioè due funzioni sono equivalenti se sono uguali quasi ovunque. L'insieme quoziente rispetto a questa relazione d'equivalenza è ancora uno spazio vettoriale, su cui la seminorma risulta essere una norma a tutti gli effetti. Questo spazio normato è lo spazio $L^p$. Poiché tale norma risulta essere completa, esso è inoltre uno spazio di Banach.

Caso p infinito

Se $f:X⟶ℝ$ è una funzione misurabile, allora definiamo la sua norma del sup essenziale o norma infinito

$\Vert f{\Vert }_{\mathrm{\infty }}=\inf \{C\ge 0:|f(x)|\le C\text{ quasi ovunque}\},$

con la convenzione $\inf \mathrm{\varnothing }=+\mathrm{\infty }$. Se definiamo

$L^{\mathrm{\infty }}(X)=\{f:X⟶ℝ\text{ misurabili}:\Vert f{\Vert }_{\mathrm{\infty }}<\mathrm{\infty }\},$

e come sopra definiamo come equivalenti due funzioni quasi ovunque uguali, $\Vert \cdot {\Vert }_{\mathrm{\infty }}$ è una norma su $L^{\mathrm{\infty }}(X)$ che risulta essere uno spazio di Banach.

La norma infinito non va confusa con la norma uniforme, e per questo a volte si preferisce usare la notazione

$\Vert f{\Vert }_{\mathrm{\infty }}={\text{ess sup}}_X|f|.$

Tale ambiguità si giustifica osservando che se $f\in L^{\mathrm{\infty }}$ allora esiste un insieme di misura nulla $E\subset X$ tale che

${\text{ess sup}}_X|f|={\text{sup}}_{X\setminus E}|f|.$

Il nome di "norma infinito" deriva dal fatto che se $1\le p<\mathrm{\infty }$ e $f\in L^p\cap L^{\mathrm{\infty }}$, allora

$\Vert f{\Vert }_{\mathrm{\infty }}=\underset{p\to +\mathrm{\infty }}{\lim }\Vert f{\Vert }_p.$

Generalizzazioni

Gli spazi $L^p$ possono essere definiti anche prendendo come insieme di valori il campo dei numeri complessi. In questo caso lo spazio $L^p$ può essere indicato con $L^p(X,ℂ)$. Una generalizzazione più accentuata considera funzioni a valori in un generico spazio di Banach $E$. In tal caso, la norma p-esima è definita come

$\Vert f{\Vert }_p={(\underset{X}{\int }\Vert f(x){\Vert }^{p}dx)}^{\frac{1}{p}},$

dove l'integranda è la potenza p-esima della norma dello spazio $E$. Similmente, si generalizza la norma del sup essenziale.

Lo spazio l^p

Consideriamo lo spazio di misura $(\mathbb{N},𝒫(\mathbb{N}),\mu )$, con $\mu (A)=\mathrm{\#}A$ la misura del conteggio. Si denota con ${\ell }^p$ lo spazio $L^p$ associato a tale spazio di misura, ovvero l'insieme delle successioni $x=\{{\xi }_n\}$ tali che

$\Vert x{\Vert }_p={(\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}|{\xi }_n{|}^p)}^{\frac{1}{p}}<\mathrm{\infty }.$

Vi sono tre casi particolarmente importanti:

• ${\ell }^1$ è lo spazio delle successioni la cui serie converge assolutamente;
• ${\ell }^2$ è lo spazio delle successioni a quadrato sommabili;
• ${\ell }^{\mathrm{\infty }}$ è lo spazio delle successioni limitate.

Lo spazio ${\ell }^p$ è uno spazio di Banach e, per $1\le p<\mathrm{\infty }$, separabile.

Proprietà degli spazi L^p

Nel seguito si espongono le principali proprietà che caratterizzano gli spazi $L^p$.

Il caso p=2

Nello spazio $L^2(X,ℂ)$ delle funzioni a quadrato sommabili, la norma è indotta dal prodotto interno:

$⟨f,g⟩=\underset{X}{\int }\overline{f(x)}g(x)dx$

e quindi $L^2$ è uno spazio di Hilbert. Il caso $p=2$ è molto particolare, dal momento che $L^2$ è l'unico spazio di Hilbert tra gli spazi $L^p$.

Dualità

Se $1<p<\mathrm{\infty }$ allora lo spazio duale continuo di $L^p$, definito come lo spazio di tutti i funzionali lineari continui, è isomorfo in modo naturale a $L^q$, dove $q$ è tale che:

$\frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1.$

Usando la notazione di Dirac, tale isomorfismo canonico associa a $f\in L^q$ il funzionale

$⟨f|g⟩=\underset{X}{\int }\overline{f}g\text{d}\mu .$

Poiché la relazione $1/p+1/q=1$ è simmetrica allora $L^p$ è uno spazio riflessivo: il duale continuo del duale continuo di $L^p$, detto spazio biduale, è isometrico a $L^p$.

Per $p=1$ il duale di $L^1$ è isomorfo a $L^{\mathrm{\infty }}$ nel caso in cui $X$ sia uno spazio $\sigma$-finito. Non è valido il viceversa: il duale di $L^{\mathrm{\infty }}$ è uno spazio vettoriale "più grande" di $L^1$ e per questo motivo $L^1$ non è riflessivo. Ad esempio, sia $f\mapsto ⟨f|$ l'immersione canonica di $L^1(ℝ)$ nel duale di $L^{\mathrm{\infty }}(ℝ)$. Osserviamo che l'applicazione $g\mapsto g(0)$, con $g\in L^{\mathrm{\infty }}$, appartiene al duale continuo di $L^{\mathrm{\infty }}$. Supponiamo, per assurdo, che esista una funzione $\delta \in L^1$ tale che $⟨\delta |g⟩=g(0)$ per ogni $g\in L^{\mathrm{\infty }}$. Notiamo che per ogni $n\ge 1$

$⟨\delta |1⟩=⟨\delta |1_{(-1/n,1/n)}⟩=1.$

Tuttavia, per il teorema della convergenza dominata

$1=\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{\lim }\underset{ℝ}{\int }\overline{\delta }(x)1_{(-1/n,1/n)}(x)dx=0.$

Si ottiene così un assurdo.

Il duale di $L^{\mathrm{\infty }}(\mu )$ è uno spazio un po' più difficile da definire. Si dimostra che se $(X,𝔐,\mu )$ è uno spazio di misura allora il duale di $L^{\mathrm{\infty }}(\mu )$ è isomorfo allo spazio di tutte le misure finitamente additive e assolutamente continue rispetto a $\mu$.

La disuguaglianza di Hölder

Template:Vedi anche Siano $p>1$ e $p^{\prime }>1$ due esponenti coniugati, ovvero due numeri reali tali che

$\frac{1}{p}+\frac{1}{p^{\prime }}=1.$

Se $p=1$ allora per convenzione $p^{\prime }=\mathrm{\infty }$. Se $f\in L^p$ e $g\in L^{p^{\prime }}$ allora $fg\in L^1$ e

$\Vert fg{\Vert }_1\le \Vert f{\Vert }_p\Vert g{\Vert }_{p^{\prime }}.$

Esplicitando la norma p-esima si ottiene la scrittura equivalente

$\underset{X}{\int }fgd\mu \le {\left[\underset{X}{\int }{f}^{p}d\mu \right]}^{\frac{1}{p}}{\left[\underset{X}{\int }{g}^{p^{\prime }}d\mu \right]}^{\frac{1}{p^{\prime }}}.$

Separabilità

Rispetto alla misura di Lebesgue lo spazio $L^p({ℝ}^n)$, con $1\le p<\mathrm{\infty }$, è separabile. Ad esempio, se $ℬ$ è una base numerabile di ${ℝ}^n$ allora un suo sottoinsieme numerabile denso è costituito dall'insieme delle funzioni del tipo

$s(x)=\sum _{j=i}^n{a}_j{\chi }_{B_j}(x)$

con $a_j\in \mathbb{Q}$ e $B_j\in ℬ$.

Lo spazio $L^{\mathrm{\infty }}$ non è invece separabile in nessun caso se la cardinalità di $X$ è infinita.

Relazioni di inclusione tra spazi L^p

Si può provare, sfruttando la disuguaglianza di Hölder, che se la misura di $X$ è finita allora al crescere di $p$ lo spazio $L^p$ "decresce", ovvero $L^p\supset L^q$ per ogni $p<q\le \mathrm{\infty }$. Infatti se $q=\mathrm{\infty }$ allora

$\Vert f{\Vert }_p^p=\underset{X}{\int }|f{|}^{p}d\mu \le \Vert f{\Vert }_{\mathrm{\infty }}^p\underset{X}{\int }d\mu \le \Vert f{\Vert }_{\mathrm{\infty }}^p\mu (X),$

mentre se $q<+\mathrm{\infty }$ allora per Hölder

$\begin{array}{cc}\Vert f{\Vert }_p^p& =\underset{X}{\int }1\cdot |f{|}^{p}d\mu \le \Vert |f{|}^p{\Vert }_{q/p}\Vert 1{\Vert }_{q/(q-p)}\\ & =\Vert f{\Vert }_q^p\mu (X{)}^{(q-p)/q}\end{array}.$

Per esempio, la funzione

$f(x)=\frac{1}{\sqrt{x}}$

appartiene $L^p((0,1))$ per ogni $p<2$. Segue inoltre, dalle disuguaglianze sopra esibite, che l'inclusione di $L^q$ in $L^p$ è una funzione continua.

Bibliografia

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Voci correlate

• Convoluzione
• Spazio di Banach
• Spazio di Hilbert
• Spazio l2
• Spazio delle successioni
• Spazio vettoriale quoziente
• Trasformata di Fourier