Spazio metrico

Uno spazio metrico è un insieme di elementi, detti punti, nel quale è definita una distanza, detta anche metrica. Lo spazio metrico più comune è lo spazio euclideo di dimensione 1, 2 o 3.

Uno spazio metrico è in particolare uno spazio topologico, e quindi eredita le nozioni di compattezza, connessione, insieme aperto e chiuso. Si applicano quindi agli spazi metrici gli strumenti della topologia algebrica, quali ad esempio il gruppo fondamentale.

Qualsiasi oggetto contenuto nello spazio euclideo è esso stesso uno spazio metrico. Molti insiemi di funzioni sono dotati di una metrica: accade ad esempio se formano uno spazio di Hilbert o di Banach. Per questi motivi gli spazi metrici giocano un ruolo fondamentale in geometria e in analisi funzionale.

Definizione

Uno spazio metrico è una struttura matematica costituita da una coppia $(X,d)$ di elementi, dove $X$ è un insieme e $d$ una funzione distanza, detta anche metrica, che associa a due punti $x$ e $y$ di $X$ un numero reale non negativo $d(x,y)$ in modo che le seguenti proprietà valgano per ogni scelta di $x,y,z$ in $X$:

• $d(x,y)>0⟺x\ne y$
• $d(x,y)=0⟺x=y$
• $d(x,y)=d(y,x)$
• $d(x,y)\le d(x,z)+d(z,y)$

L'ultima proprietà è detta disuguaglianza triangolare.

Proprietà

Struttura topologica

Uno spazio metrico possiede naturalmente anche una struttura topologica: l'insieme delle palle aperte centrate nei vari punti avente raggio variabile fornisce infatti una sua base topologica.

Esplicitamente, un insieme sarà aperto se è l'unione di un certo numero (finito o infinito) di palle. Uno spazio metrico è perciò, quasi per definizione, uno spazio metrizzabile.

Per una funzione definita in uno spazio metrico sarà possibile dunque parlare di continuità e la definizione generale (usando le controimmagini degli aperti) potrà essere riformulata in funzione di dischi:

$f:(X,d)\to (Y,d^{\prime })$ è continua in $x_0$ se per ogni $r>0$ esiste un $\delta (r)>0$ tale che $x\in B_d(x_0,\delta (r))$ implica $f(x)\in B_{d^{\prime }}(f(x_0),r)$,

dove $B_d$ (risp. $B_{d^{\prime }}$) rappresenta la palla nella metrica $d$ (risp. $d^{\prime }$). Scritta in un altro modo, questa definizione dice che:

$f:(X,d)\to (Y,d^{\prime })$ è continua in $x_0$ se per ogni $r>0$ esiste un $\delta (r)>0$ tale che $d(x,x_0)<\delta (r)$ implica $d^{\prime }(f(x),f(x_0))<r$.

Tale definizione è già molto vicina a quella usuale per funzioni reali.

Addizionalmente, uno spazio metrico è anche uno spazio uniforme, definendo un sottoinsieme $V$ di $M\times M$ essere un entourage se e solo se esiste un $ϵ>0$ tale che se $d(x,y)<ϵ$ allora $(x,y)\in V$. La struttura uniforme generalizza quella topologica.

È possibile costruire esempi semplici di metriche topologicamente equivalenti ma con strutture uniformi distinte: basta prendere, in $ℝ$, $d_1$ la metrica euclidea e $d_2(x,y)=|e^x-e^y|$; allora $\{(x,y)\in {ℝ}^2:|x-y|<1\}$ è un entourage nella struttura uniforme data da $d_1$ ma non in quella data da $d_2$. Intuitivamente, la difformità è data dalla distorsione della metrica usuale secondo una funzione non uniformemente continua.

Spazi normati

Uno spazio vettoriale normato

$(M,\Vert \cdot \Vert )$

è in modo naturale anche uno spazio metrico dotato della distanza

$d(x,y)=\Vert x-y\Vert$

Le proprietà della distanza discendono infatti da quelle della norma.

Uno spazio vettoriale munito di una seminorma genera invece una pseudometrica, cioè una funzione che può assegnare distanza nulla a punti diversi, e quindi non uno spazio metrico. Si può ovviare all'inconveniente introducendo la relazione di equivalenza ~, che identifica due punti se e solo se hanno distanza nulla. Passando dunque all'insieme quoziente

$X^{*}=X_{/\sim }$

e definendo, se $d$ è la pseudometrica,

$d^{*}([x],[y])=d(x,y)$

la funzione $d^{*}$ risulta essere, oltre che ben definita, proprio una metrica per $X^{*}$. Il quoziente conserva la topologia che la pseudometrica induce su $X$ (esattamente nello stesso modo in cui lo fa una metrica), cioè $A$ è aperto in $X$ se e solo se $\pi (A)=[A]$ (ovvero i punti di A considerati a meno dell'equivalenza) è aperto in $X^{*}$.

Equivalenze

Una biiezione $f$ tra due spazi metrici $(M_1,d_1)$, $(M_2,d_2)$ si dice

• una isometria se $d_2(f(x),f(y))=d_1(x,y)$ per ogni $x,y$ ($M_1$ e $M_2$ sono isometrici).
• una similitudine se $d_2(f(x),f(y))=k{d}_1(x,y)$ per qualche $k>0$, per ogni $x,y$ ($M_1$ e $M_2$ sono simili).
• una uniformità se è un isomorfismo tra $M_1$ e $M_2$ visti come spazi uniformi.
• un omeomorfismo se è un isomorfismo tra $M_1$ e $M_2$ visti come spazi topologici ($M_1$ e $M_2$ sono omeomorfi).

Distanza tra punti e insiemi e tra insiemi

Oltre alla distanza tra punti, in uno spazio metrico si possono introdurre altri concetti accessori, come la distanza tra un punto e un insieme, definita come

$\delta (x,E)=\underset{y\in E}{\inf }d(x,y)$

È $\delta (x,E)=0$ se e solo se $x$ appartiene alla chiusura di $E$. Per questa funzione vale una versione generale della disuguaglianza triangolare, cioè

$\delta (x,E)\le d(x,y)+\delta (y,E)$.

Si possono definire inoltre più distanze tra insiemi.

• Una è definita come l'estremo inferiore della distanza tra due punti dei due insiemi:

$d(E,F)=\underset{x\in E,y\in F}{\inf }d(x,y)$

Questa definizione, che è molto intuitiva, si rivela però poco utile, perché è solo una parametrica simmetrica, cioè soddisfa solo la non negatività e l'"auto-distanza" nulla: due insiemi non coincidenti con intersezione non vuota o che si toccano (cioè per esempio $[1,2)$ e $(2,3]$) hanno distanza nulla.

• Una definizione migliore è stata data da Felix Hausdorff ed è la seguente:

$H(A,B)=\max \{e(A,B),e(B,A)\}$,

dove per evitare notazioni pesanti si è indicato con $e(A,B)=\underset{x\in A}{\sup }\delta (x,B)$ l'eccedenza di $A$ su $B$; $H$ è detta proprio distanza di Hausdorff di $A$ da $B$. In generale $H$ è solo una pseudometrica: la sua restrizione ai sottoinsiemi chiusi dello spazio metrico soddisfa però anche l'ultima proprietà mancante e la rende dunque una metrica su $P_f(X)=\{S\subseteq X:S\text{chiuso}\}$, sottoclasse dell'insieme delle parti di $X$.

Limitatezza

Template:Vedi anche Lo spazio metrico è la struttura più povera in cui si può cominciare a parlare di limitatezza di un insieme. Se $E\subseteq X$, allora $E$ si dice limitato secondo la metrica presente d se esiste un raggio finito M tale che

$E\subset B_d(x,M)$ per qualche $x$ in $X$.

Ci sono altre definizioni equivalenti, cioè:

• ponendo per definizione $diam(E)=\underset{x,y\in E}{\sup }d(x,y)$ il diametro di $E$, se esso è un numero finito;
• se la sua chiusura è limitata.

La nozione è però ovviamente dipendente dalla distanza che si pone sull'insieme $X$: se per esempio $X$ è uno spazio illimitato con distanza $d$, esso ha diametro 1 nella distanza $d^{\prime }=\frac{d}{1+d}$.

Spazi metrici prodotto

Se $X_1,\dots ,X_n$ sono spazi metrici con distanze $g_1,\dots ,g_n$ rispettivamente allora si può definire una metrica nel prodotto cartesiano $X_1\times \dots \times X_n$ tra $\overrightarrow{x}=(x_1,\dots ,x_n)$ e $\overrightarrow{y}=(y_1,\dots ,y_n)$ come

$(g_1\times \dots \times g_n)(\overrightarrow{x},\overrightarrow{y}):=\sum _{i=1}^n\frac{1}{2^i}\frac{g_i(x_i,y_i)}{1+g_i(x_i,y_i)}$.

La formula può essere estesa anche per prodotti numerabili.

In generale, se $N$ è una norma in ${ℝ}^n$, allora si può definire la metrica normata nel prodotto cartesiano come

$N(d_1,\dots ,d_n)((x_1,\dots ,x_n),(y_1,\dots ,y_n))=N(d_1(x_1,y_1),\dots ,d_n(x_n,y_n))$

e la topologia generata è coerente con la topologia prodotto.

Come caso particolare, se $n=2$, $X_1=X_2=X$, $d_1=d_2=d$ allora viene fuori che la funzione distanza $d:X\times X\to {ℝ}^{+}$ è uniformemente continua rispetto ogni metrica normata e dunque è una funzione continua rispetto alla topologia prodotto su $X\times X$.

Esempi di spazi metrici

• Lo spazio euclideo con la normale nozione di distanza.
• Un insieme qualsiasi con la distanza definita nel modo seguente: la distanza tra due punti è 1 se i punti sono diversi, 0 altrimenti; in questo caso si dice distanza discreta.
• L'insieme delle funzioni continue nell'intervallo [0,1] è metrizzabile con la seguente metrica: date due funzioni f₁, f₂ della variabile x il numero $d=\max |f_1(x)-f_2(x)|$ è la distanza tra esse.
• Un sottoinsieme di uno spazio metrico si può considerare anch'esso in modo naturale uno spazio metrico: basta munirlo della opportuna restrizione della funzione distanza dello spazio di partenza. Quindi qualsiasi sottoinsieme dello spazio euclideo è un esempio di spazio metrico.
• Ogni spazio normato è uno spazio metrico, dove la distanza tra due punti $x,y$ è data dalla norma del vettore $x-y$. In questi casi si dice che la metrica è indotta dalla norma. Non vale però il viceversa, esistono cioè spazi metrici la cui metrica non può derivare da una norma, come mostra il prossimo esempio.
• L'insieme dei numeri reali, con la distanza data da

$d(x,y)=|\arctan (x)-\arctan (y)|.$

Questa distanza, diversa da quella standard, non può essere indotta da una norma, in quanto non è invariante per traslazioni (ovvero $d(x+z,y+z)$ è in generale diversa da $d(x,y)$), mentre tutte le distanze indotte da norme lo sono.

• Se $(X,d)$ è uno spazio metrico, allora è possibile definire una nuova metrica $d_1$ su X tale che qualunque coppia di punti di X abbia distanza minore o uguale a 1. Basta infatti prendere

$d_1(x,y)=\frac{d(x,y)}{d(x,y)+1}.$

Si può verificare che $d_1$ è ancora una metrica su X. Inoltre se X è illimitato rispetto alla metrica d, risulta avere diametro 1 nella metrica $d_1$, ovvero risulta limitato nella metrica $d_1$. La nozione di limitatezza di un insieme non è dunque un concetto "assoluto".

Bibliografia

• Athanase Papadopoulos, Metric Spaces, Convexity and Nonpositive Curvature, European Mathematical Society, 2004, SBN 978-3-03719-010-4.
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Voci correlate

• Spazio pseudometrico
• Spazio ultrametrico

Collegamenti esterni

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