Insieme finito

In matematica, un insieme $X$ è detto finito se esiste una corrispondenza biunivoca (ossia una biiezione) tra un numero naturale $n$ visto come insieme e $X$.

I numeri naturali sono $0=\mathrm{\varnothing }$ (dove $\mathrm{\varnothing }$ denota l'insieme vuoto), $1=\{0\}$, $2=\{0,1\}=1\cup \{1\}$, etc. Ad esempio l'insieme $X:=\{e,\pi ,e^{\pi }\}$ è finito perché la funzione $f:\{0,1,2\}\to X$ definita mediante $f(0):=e,f(1):=\pi ,f(2):=e^{\pi }$ è una biiezione tra $3=\{0,1,2\}$ e $X$.

Per poter definire il numero di elementi di un insieme finito $X$ occorre dimostrare la seguente affermazione: se esistono $n,m\in \mathbb{N}$ numeri naturali, $f:n\to X$ e $g:m\to X$ biiezioni allora $n=m$.

Per dimostrare tale affermazione si considera la funzione composta $g^{-1}f:n\to m$ che è ancora una biiezione. Basta quindi mostrare che dati $n,m\in \mathbb{N}$ numeri naturali, se $n\to m$ è una biiezione allora $n=m$. Questo ultimo fatto si dimostra per induzione.

Infatti, sia $S\subseteq \mathbb{N}$ il sottoinsieme degli $n\in \mathbb{N}$ tali che se esiste una funzione biiettiva $n\to m$ e $m\in \mathbb{N}$ allora $n=m$. Si ha che $0\in \mathbb{N}$ in quanto esiste un’unica $\mathrm{\varnothing }\to m$ ed è biiettiva se e solo se $m=\mathrm{\varnothing }=0$. Supponiamo ora che $n\in S$ e mostriamo che $n\cup \{n\}\in S$.

Sia $\tau :n\cup \{n\}\to m$ biiettiva quindi $m\ne 0$ ed $m=k\cup \{k\}$. A meno di scambi possiamo sempre supporre che $\tau (n)=k$ e quindi $\tau {\mid }_n:n\to k$ è biiettiva. Per ipotesi induttiva $n\in S$ quindi $n=k$ e $n\cup \{n\}=m$ dunque $n\cup \{n\}\in S$. Abbiamo visto che $S\subseteq \mathbb{N}$ è induttivo dunque $S=\mathbb{N}$.

Quanto visto consente di definire il numero di elementi di un insieme finito $X$ come l'unico numero naturale $n$ tale che esiste una biiezione tra $n$ e $X$. Tale numero si indica con $\mathrm{\#}X$ oppure con $|X|$ e si dice anche cardinalità di $X$. Inoltre, si ha che $\mathrm{\#}\mathrm{\varnothing }=0$.

Ad esempio, l'insieme $X=\{e,\pi ,e^{\pi }\}$ ha $3$ elementi, cioè $\mathrm{\#}X=3$. Inoltre, $\mathrm{\#}\{X,-12,18,\pi \}=4$ e $\mathrm{\#}\{1,2,1,1\}=2$

Un insieme si dice infinito se non è finito. Esistono altre definizioni di insieme infinito, equivalenti a questa assumendo l'assioma della scelta, che si adoperano in matematica a seconda delle esigenze dimostrative.

Bibliografia

• Luca Barbieri Viale, Lemma 2.13, Che cos'è un numero? : una introduzione all'algebra, R. Cortina, 2013, Template:ISBN, OCLC 870195631.

Voci correlate

• Infinito (matematica)
• Insieme infinito

Collegamenti esterni

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