Supporto (matematica)

In matematica, il supporto o sostegno di una funzione è il sottoinsieme dei punti del dominio dove la funzione non si annulla. Se il dominio è uno spazio topologico e la funzione è continua, allora è conveniente definire il supporto come la chiusura dell'insieme dei punti del dominio dove la funzione non si annulla.

Nel caso di una curva, il supporto è definito come l'immagine della parametrizzazione della curva.

Nel caso di una misura $\mu$ su uno spazio misurabile $(X,𝒜)$, il supporto è definito come la chiusura del sottoinsieme di $X$ i cui punti hanno la proprietà che ogni loro intorno ha misura positiva.

Funzioni

Sia $X$ uno spazio topologico, e $Y$ uno spazio vettoriale. Sia:

$f:\mathrm{\Omega }\subseteq X\to Y$

Si definisce supporto di $f$ l'insieme:

$\mathrm{supp}f:=\overline{\{𝐱\in \mathrm{\Omega }:f(𝐱)\ne \mathrm{𝟎}\}}$

Di particolare importanza in analisi sono le funzioni a supporto compatto.

Teoria della misura

Il supporto di una misura $\mu$ su uno spazio misurabile $(X,𝒜)$ è la chiusura del sottoinsieme di $X$ i cui punti hanno la proprietà che ogni loro intorno ha misura positiva.

Sia $(X,𝒜,\mu )$ uno spazio misurabile (con misura non negativa), allora:

$\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}\mathrm{p}\mu :=\overline{\{x\in X:\mathrm{\forall }N\ni x,\mu (N)>0\}}$

Curve

Il supporto di una curva è definito come l'immagine della parametrizzazione della curva. Sia $𝐫$ la parametrizzazione di una curva:

$𝐫:I\subseteq ℝ\to {ℝ}^n,$

allora il suo supporto $\mathrm{\Gamma }$ è l'immagine di $𝐫$, cioè l'insieme:

$\mathrm{\Gamma }=\{𝐱\in {ℝ}^n:\mathrm{\exists }t\in I,𝐱=𝐫(t)\}=𝐫(I).$

Si nota che per descrivere la curva non basta solo il suo supporto. Infatti, ad esempio, la curva ${\gamma }_1(t)=(\cos t,\sin t),t\in [0,2\pi ]$ e la curva ${\gamma }_2(t)=(\cos t,\sin t),t\in [0,3\pi ]$ hanno lo stesso supporto, ma la prima è semplice e chiusa, la seconda no.

Supporto singolare

Nell'analisi di Fourier, il supporto singolare di una distribuzione è intuitivamente definito come l'insieme dei punti in cui la distribuzione non è una funzione liscia. Per esempio, la trasformata di Fourier della funzione gradino di Heaviside può essere vista come la funzione $1/x$ eccetto per il punto $x=0$. Nello specifico, essa ha la forma:

$\hat{H}(s)=\underset{N\to \mathrm{\infty }}{\lim }\underset{-N}{\overset{N}{\int }}{\mathrm{e}}^{-2\pi ixs}H(x)\mathrm{d}x=\frac{1}{2}(\delta (s)-\frac{i}{\pi }\mathrm{p}\mathrm{.}\mathrm{v}\mathrm{.}\frac{1}{s})$

La trasformata possiede quindi un supporto singolare $\{0\}$ e non può essere espressa come una funzione, ma come la distribuzione (temperata) $\mathrm{p}\mathrm{.}\mathrm{v}\mathrm{.}1/s$ che associa alla funzione di test $\phi$ il valore principale di Cauchy di:

$\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\phi (s)/s\mathrm{d}s$

Bibliografia

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Voci correlate

• Chiusura (topologia)
• Dominio (matematica)
• Funzione a supporto compatto