Operatore di Frobenius-Perron

In matematica, l'operatore di Frobenius-Perron codifica informazioni riguardo una funzione iterata ed è spesso utilizzato per studiare il comportamento di sistemi dinamici, meccanica statistica, caos quantistico e frattali. L'operatore di Frobenius-Perron è anche chiamato operatore transfer o operatore di Ruelle.

Si consideri una trasformazione misurabile $S:X\to S$, con $(X,\mathrm{\Sigma },m)$ uno spazio con misura $m$ $\sigma$-finita. Sia $\mu$ una misura di probabilità su $(X,\mathrm{\Sigma })$ e si osservi l'evoluzione di tale misura sotto l'azione del sistema. Se la misura $\mu$ descrive la distribuzione dei punti nello spazio delle fasi $X$, la misura $\nu$ tale che $\nu (B)=\mu (S^{-1}(B))$ descriverà la distribuzione dei punti dopo l'azione della trasformazione $S$. Sia $\mu$ assolutamente continua rispetto ad $m$ con densità $f$. Se anche $\nu$ è assolutamente continua rispetto ad $m$, con $g=\frac{d\nu }{dm}$, possiamo definire l'operatore $P_S$ su $(X,\mathrm{\Sigma })$ data da

$P(x,B)=\{\begin{array}{cc}1,& S(x)\in B,\\ 0,& S(x)\notin B.\end{array}$

Per trasformazioni non singolari, l'operatore $P_S$ è correttamente definito. La condizione di non singolarità prenderà in tal caso la forma

$m(B)=0⟹m(S^{-1}(B))=0,B\in \mathrm{\Sigma }.$

Tale operatore può essere esteso ad un operatore lineare limitato $P_S:L^1\to L^1$, con $P_S$ operatore stocastico detto operatore di Frobenius-Perron per la trasformazione $S$.

Definizione

Sia $(X,\mathrm{\Sigma },m)$ uno spazio di misura $\sigma$-finito e sia $S$ una trasformazione non singolare di $X$. Un operatore $P_S:L^1\to L^1$ che soddisfa la condizione

$\underset{B}{\int }{P}_{S}f(x)m(dx)=\underset{S^{-1}(B)}{\int }f(x)m(dx),B\in \mathrm{\Sigma },f\in L^1$

è detto operatore di Frobenius-Perron per la trasformazione $S$. L'aggiunto dell'operatore di Frobenius-Perron $P_S^{*}:L^{\mathrm{\infty }}\to L^{\mathrm{\infty }}$, detto operatore di Koopman, è dato da $P_S^{*}g(x)=g(S(x))$.

In particolare, se $S:X\to S$ è biettiva e non singolare rispetto a $m$, allora

$P_{S}f(x)=1_{S(X)}(x)f(S^{-1}(x))\frac{d(m\circ S^{-1})}{dm}(x)$

per quasi ogni $x\in X$.

Proprietà

L'operatore di Frobenius-Perron è un particolare tipo di operatore di Markov perciò ogni proprietà dimostrata per gli operatori di Markov può essere trasferita all'operatore di Frobenius-Perron. In particolare:

• $P$ è un operatore lineare;
• $Pf\ge 0$ se $f\ge 0$;
• $\underset{X}{\int }Pf(x)\mu (dx)=\underset{X}{\int }f(x)\mu (dx)$;
• l'operatore di Frobenius-Perron della composizione di trasformazioni è la composizione degli operatori di Frobenius-Perron delle trasformazioni.

Dal teorema di cambiamento di variabile per trasformazioni non singolari discende immediatamente che per ogni $f\in L^1$, $Pf(x)=f(S^{-1}(x))J^{-1}(x).$

Teorema di esistenza dell'operatore di Frobenius-Perron

Sia $X\subseteq {ℝ}^d$ con interno non vuoto e frontiera con misura di Lebesgue nulla. Sia $S:X\to X$ una trasformazione misurabile. Assumiamo che esista una famiglia di sottoinsiemi disgiunti di $X$, $U_1,\dots ,U_n$, con le seguenti proprietà:

• gli insiemi $X_0=X\setminus \bigcup _{i=1}^n{U}_i$ e $S(X_0)$ hanno misura di Lebesgue nulla;
• le funzioni $S_i=S{|}_{U_i}$ sono diffeomorfismi da $U_i$ in $S(U_i)$.

Allora anche le trasformazioni ${\psi }_i=S_i^{-1}$ sono diffeomorfismi da $S(U_i)$ in $U_i$, l'operatore di Frobenius-Perron esiste ed è dato dalla formula

$P_{S}f(x)=\sum _{i\in I_x}f({\psi }_i(x))|\det \psi {\text{'}}_i(x)|,$

dove $I_x=\{i:{\psi }_i(x)\in U_i\}$. Difatti:

$\underset{S^{-1}(B)}{\int }f(x)dx=\sum _{i=1}^n\underset{S^{-1}(B)\cap U_i}{\int }f(x)dx=\sum _{i=1}^n\underset{{\psi }_i(B)}{\int }f(x)dx=\sum _{i=1}^n\underset{S^{-1}(B)\cap U_i}{\int }f({\psi }_i(x))|\det \psi {\text{'}}_i(x)|dx=\underset{B}{\int }\sum _{i\in I_x}f({\psi }_i(x))|\det \psi {\text{'}}_i(x)|dx=\underset{B}{\int }Pf(x)dx.$

Operatore di Frobenius-Perron su intervalli

Supponiamo che $X$ sia un intervallo, $X=[a,b]\in ℝ$ e sia $A=[a,x]$. Allora

$Pf(x)=\frac{d}{dx}\underset{S^{-1}([a,x])}{\int }f(s)ds.$

Se $S$ è differenziabile e invertibile allora $S$ è monotona. Sia quindi $S$ monotona crescente ed $S^{-1}$ con derivata continua. Allora $S^{-1}([a,x])=[S^{-1}(a),S^{-1}(x)]$ e quindi

$Pf(x)=\frac{d}{dx}\underset{S^{-1}(a)}{\overset{S^{-1}(x)}{\int }}f(s)ds=d(S^{-1}(x))\frac{d}{dx}[S^{-1}(x)].$

Esempi

Mappa logistica

Sia $S(x)=\alpha x(1-x)$ una mappa logistica, con $0\le x\le 1$, con $\alpha =4$. Si trova facilmente la forma analitica della retroimmagine di un intervallo $[0,x]\subset [0,1]$:

$S^{-1}([0,x])=[0,\frac{1}{2}-\frac{1}{2}\sqrt{1-x}]\cup [\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\sqrt{1-x},1].$

L'equazione diventa quindi

$Pf(x)=\frac{d}{dx}(\underset{0}{\overset{1/2-1/2\sqrt{1-x}}{\int }}f(u)du+\underset{1/2+1/2\sqrt{1-x}}{\overset{1}{\int }}f(u)du),$

ossia

$Pf(x)=\frac{1}{4\sqrt{1-x}}[f(\frac{1}{2}-\frac{1}{2}\sqrt{1-x})+f(\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\sqrt{1-x})].$

Il calcolo dell'operatore di Frobenius-Perron corrispondente alla trasformazione quadratica mostra quindi come $S$ trasforma la densità $f$ in una nuova densità $Pf$. Prendendo ad esempio $f(x)\equiv 1$ per $x\in [0,1]$, otteniamo

$Pf(x)=\frac{1}{2\sqrt{1-x}},$

$P^{2}f(x)=\frac{\sqrt{2}}{8\sqrt{1-x}}(\frac{1}{\sqrt{1+\sqrt{1-x}}}+\frac{1}{\sqrt{1-\sqrt{1-x}}}),$

$⋮$

$f_{*}(x)=\frac{1}{\pi \sqrt{x(1-x)}},$

con $f_{*}(x)$ densità limite di $P^{n}f$ quando $n\to \mathrm{\infty }$.

Applicazioni

Sistema di funzioni iterate

Si consideri un insieme finito di funzioni non singolari differenti, $S_1,\dots ,S_k$ su uno spazio di misura $\sigma$-finito $(X,\mathrm{\Sigma },m)$. Siano $p_1(x),\dots ,p_k(x)$ funzioni misurabili non negative definite su $X$ tali che $p_1(x)+\cdots +p_k(x)=1$ per ogni $x\in X$. Si prenda un punto $x$. Si sceglierà la trasformazione $S_j$ con probabilità $p_j(x)$ e la posizione di $x$ dopo l'azione del sistema sarà $S_j(x)$. Si consideri dunque la probabilità di transizione $P(x,B)=\sum _{j=1}^k{p}_j(x){\delta }_{S_j(x)}(B)$ per ogni $x\in X$ e insieme misurabile $B$. Per ogni misura $\mu$ si avrà:

$P\mu (B)=\sum _{j=1}^k\underset{X}{\int }{p}_j(x){\delta }_{S_j(x)}(B)\mu (dx)=\sum _{j=1}^k\underset{S_j^{-1}(B)}{\int }{p}_j(x)\mu (dx)$

e, se $\mu$ è assolutamente continua, $f=\frac{d\mu }{dm}$, si avrà

$P\mu (B)=\sum _{j=1}^k\underset{S_j^{-1}(B)}{\int }{p}_j(x)f(x)m(dx)=\sum _{j=1}^k\underset{B}{\int }{P}_{S_j}(p_{j}f)(x)m(dx),$

con $P_{S_1},\dots ,P_{S_k}$ operatori di Frobenius-Perron associati. L'operatore stocastico corrispondente a $P$ sarà della forma $Pf=\sum _{j=1}^k{P}_{S_j}(p_{j}f),f\in L^1$.

Sia $S_y:X\to X$, $y\in Y$, una famiglia di trasformazioni misurabili, dove $Y$ è uno spazio metrico dotato di misura di Borel $\nu$, e sia $p_y:X\to [0,+\mathrm{\infty })$ una famiglia di funzioni misurabili tali che $\underset{Y}{\int }{p}_y(x)\nu (dy)=1,x\in X,$ con probabilità di transizione $P$ della forma $P(x,B)=\underset{Y}{\int }{1}_B(S_y(x))p_y(x)\nu (dy),x\in X.$ Se ogni trasformazione $S_y$ è non singolare, allora l'operatore stocastico corrispondente alla probabilità di transizione è della forma

$Pf=\underset{Y}{\int }{P}_{S_y}(p_{y}f)\nu (dy),f\in L^1,$

dove $P_{S_y}$ è l'operatore di Frobenius-Perron per $S_y$.

Bibliografia

• Michael Brin and Garrett Stuck. Introduction to Dynamical Systems. Cambridge, 2002.
• Karma Dajani and Sjoerd Dirksin. A simple introduction to ergodic theory. University of Utrecht, Lecture notes in Ergodic Theory, 2008.
• Manfred Einsiedler and Thomas Ward. Ergodic Theory with a view towards Number Theory. Springer, first edition, 2010.
• Andrzej Lasota and Michael C Mackey. Chaos, fractals, and noise: stochastic aspects of dynamics. Springer, second edition, 1994.
• Peter Walters. An introduction to Ergodic Theory. Springer, 2000 edition.

Voci correlate

• Teoria ergodica
• Operatore di Markov
• Trasformazione non singolare
• Trasformazione che preserva la misura