Operatore di Markov

Nella teoria della probabilità e nella teoria ergodica, un operatore di Markov è un operatore in uno specifico spazio delle funzioni che conserva la massa (la cosiddetta proprietà di Markov).

Definizioni

Operatore di Markov

Sia $(X,𝒜,\mu )$ uno spazio di misura. Ogni operatore lineare $P:L^1\to L^1$ che soddisfa

• $Pf\ge 0$, per $f\ge 0$, $f\in L^1$,
• $\Vert Pf\Vert =\Vert f\Vert$, per $f\ge 0,f\in L^1$

è detto operatore di Markov.

In particolare dal secondo punto si deduce subito che l'operatore di Markov è una contrazione.

Semigruppo di Markov

Una famiglia $\{P(t){\}}_{t\ge 0}$ di operatori di Markov che soddisfa le condizioni

• $P(0)=Id$,
• $P(t+s)=P(t)P(s)$ per $s,t\ge 0$,
• $\mathrm{\forall }f\in L^1,t\mapsto P(t)f$ è continua

è detta semigruppo di Markov.

Generatore infinitesimale del semigruppo

Sia $\{P_t{\}}_{t\ge 0}$ una famiglia di operatori di Markov lineari limitati sullo spazio di Hilbert $L^2(\mu )$, dove $\mu$ è una misura invariante. Il generatore infinitesimale $L$ del semigruppo di Markov $𝒫=\{P_t{\}}_{t\ge 0}$ è definito come

$Lf=\lim {\mathrm{\backslash limits}}_{t\downarrow 0}\frac{P_{t}f-f}{t},$

ed il dominio $D(L)$ è lo spazio $L^2(\mu )$ di tutte le funzioni ove esiste tale limite, coincidente esso stesso con $L^2(\mu )$.

$D(L)=\{f\in L^2(\mu ):\lim {\mathrm{\backslash limits}}_{t\downarrow 0}\frac{P_{t}f-f}{t}\text{ esiste ed è in }{L}^2(\mu )\}.$

Bibliografia

• Bakry, Dominique; Gentil, Ivan; Ledoux, Michel. Analysis and Geometry of Markov Diffusion Operators. Springer Cham. doi:10.1007/978-3-319-00227-9.

• Eisner, Tanja; Farkas, Bálint; Haase, Markus; Nagel, Rainer (2015). "Markov Operators". Operator Theoretic Aspects of Ergodic Theory. Graduate Texts in Mathematics. Vol. 2727. Cham: Springer. doi:10.1007/978-3-319-16898-2.

• Wang, Fengyu (2006). Functional Inequalities Markov Semigroups and Spectral Theory. Ukraine: Elsevier Science.
• Lasota, Andrzej; Mackey M.C. Chaos, fractals, and noise: stochastic aspects of dynamics. Springer, second edition, 1994.

Voci correlate

• Operatore
• Andrey Markov