Trasformazione che preserva la misura

In teoria della misura, una trasformazione che preserva la misura è un particolare tipo di trasformazione misurabile o, più in particolare, di trasformazione non singolare.

Definizione

Sia $(X,𝒜,\mathcal{\mu }\mathcal{)}$ uno spazio di misura e sia $S:X\to X$ una trasformazione misurabile. Si dice che la trasformazione $S$ preserva la misura se

$\mu (S^{-1}(A))=\mu (A),\mathrm{\forall }A\in 𝒜.$

Banalmente, la trasformazione identica $I$ su $(X,𝒜,\mathcal{\mu }\mathcal{)}$ preserva la misura. Il teorema del ritorno di Poincaré è valido solo per trasformazioni che preservano la misura.

Esempio: diffeomorfismo di Anosov

Sia $𝒳={ℝ}^k/{\mathbb{Z}}^k$ un $k$-toro. Presa $A$ una matrice invertibile definita su $\mathbb{Z}$ di taglia $k$, essa definirà naturalmente una mappa lineare da ${ℝ}^k\to {ℝ}^k$ tale che $(x_1,\dots ,x_k)\mapsto A(x_1,\dots ,x_k)$. Essendo $A$ una matrice a entrate intere, essa mappa ${\mathbb{Z}}^k$ in sé. A ci permette di definire una mappa $T_A:{ℝ}^k/{\mathbb{Z}}^k\to {ℝ}^k/{\mathbb{Z}}^k$ tale che $(x_1,\dots ,x_k)\mapsto A(x_1,\dots ,x_k)(\mathrm{mod}1)$ (ben definita) detta endomorfismo torale lineare; nel caso in cui $|\det A|=1$ essa è invertibile dunque un automorfismo.

Sia dunque $S(x,y)=(x+y,x+2y)(\mathrm{mod}1)$ un diffeomorfismo di Anosov.

Il determinante dello Jacobiano della trasformazione è

$J=\det \left|\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& 2\end{array}\right|=1,$

dunque la trasformazione preserva la misura.

Gli autovalori della trasformazione $S$ sono ${\lambda }_1=\frac{3}{2}-\frac{\sqrt{5}}{2}$ e ${\lambda }_1=\frac{3}{2}+\frac{\sqrt{5}}{2}$, con $0<{\lambda }_1<1<{\lambda }_2$.

Il diffeomorfismo quindi "schiaccia" in una direzione ed "espande" nella direzione ad essa ortogonale. Possiamo ottenere l'inversa della trasformazione $(S^{-1}(x,y)=(2x-y,y-x))$ e utilizzarla per calcolare esplicitamente l'operatore mediante la formula di cambiamento di variabile per trasformazioni non singolari: $Pf(x,y)=f(2x-y,y-x)(\mathrm{mod}1).$ Inoltre $P1=1$, quindi $S$ preserva la misura di Borel.

Esempio: mappa di Gauss

La mappa di Gauss $T(x)=\frac{1}{x}-\lfloor \frac{1}{x}\rfloor$, con $Y=[0,1]\setminus \mathbb{Q}$, $T:Y\to Y$, preserva la misura di Gauss $\mu$ data da

$\mu (A)=\frac{1}{\log 2}\underset{A}{\overset{}{\int }}\frac{1}{1+x}dx$

per ogni insieme di Borel $A\subseteq [0,1]$ misurabile.

$T^{-1}[0,s]=\{x|0\le T(x)\le s\}=\bigcup _{n=1}^{\mathrm{\infty }}[\frac{1}{s+n},\frac{1}{n}]$

è un'unione disgiunta, quindi

$\mu (T^{-1}[0,s])=\frac{1}{\log 2}\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\underset{\frac{1}{s+n}}{\overset{\frac{1}{n}}{\int }}\frac{1}{1+x}dx$

$=\frac{1}{\log 2}\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(\log (1+\frac{1}{n})-\log (1+\frac{1}{s+n}))$

$=\frac{1}{\log 2}\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(\log (1+\frac{s}{n})-\log (1+\frac{s}{n+1}))$

$=\frac{1}{\log 2}\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\underset{\frac{s}{n+1}}{\overset{\frac{s}{n}}{\int }}\frac{1}{1+x}dx$

$=\mu ([0,s]).$

Caratterizzazione delle trasformazioni che preservano la misura

Siano $(X_i,{ℬ}_i,{\mu }_i)$ spazi di probabilità, con $i=1,2$. Sia $T:X_1\to X_2$ una trasformazione. Sia ${𝒮}_2$ una semi-algebra che genera ${ℬ}_2$. Allora $T$ è misurabile e preserva la misura se e soltanto se per ogni $A\in {𝒮}_2$ si ha $T^{-1}(A)\in {ℬ}_1$ e ${\mu }_1(T^{-1}(A))={\mu }_2(A)$.

Bibliografia

• Andrzej Lasota and Michael C Mackey. Chaos, fractals, and noise: stochastic aspects of dynamics. Springer, second edition, 1994.
• Piermarco Cannarsa and Teresa D’Aprile. Introduzione alla teoria della misura e all’analisi funzionale. Springer, 2008 edition, 2008.
• Michael Brin and Garrett Stuck. Introduction to Dynamical Systems. Cambridge, 2002.

Voci correlate

• Spazio di misura
• Funzione misurabile
• Trasformazione non singolare
• Teoria ergodica
• Teorema di ricorrenza di Poincaré