Operatore aggiunto

In analisi funzionale l'aggiunto di un operatore, chiamato anche operatore hermitiano aggiunto o dagato, generalizza il trasposto coniugato di una matrice quadrata al caso infinito dimensionale e il concetto di complesso coniugato di un numero complesso. Ogni operatore lineare limitato su uno spazio di Hilbert ha un corrispondente operatore aggiunto.

Se A è un operatore, l'aggiunto di A si scrive A^* o A^† (l'ultimo soprattutto nella notazione bra-ket).

Definizione

La definizione di operatore aggiunto si diversifica a seconda che ci si trovi in uno spazio di Hilbert o in uno spazio di Banach.

Spazio di Banach

Siano $X$ e $Y$ spazi di Banach e $T:X\to Y$ un operatore lineare continuo, e quindi limitato. Si definisce operatore aggiunto di $T$ l'operatore lineare limitato $T^{\prime }:Y^{*}\to X^{*}$ definito dalla relazione:

$(T^{\prime }\varphi )(x)=\varphi (Tx)\mathrm{\forall }x\in X\mathrm{\forall }\varphi \in Y^{*}$

dove l'asterisco denota lo spazio duale.

La mappa che associa un operatore lineare limitato al suo aggiunto è un isomorfismo isometrico tra lo spazio degli operatori lineari limitati da $X$ a $Y$ allo spazio degli operatori lineari limitati da $Y^{*}$ a $X^{*}$. Se la dimensione dello spazio è infinita, tale mappa è continua sia nella topologia operatoriale debole, sia in quella uniforme (indotta dalla norma). Se la dimensione è finita, la mappa è continua solo nella topologia operatoriale forte.

Spazio di Hilbert

Sia $V$ uno spazio di Hilbert, con prodotto hermitiano $⟨,⟩$, e sia $A$ un operatore lineare continuo in $V$. Per ogni $𝐰$ di $V$ si definisce il funzionale lineare:

$L_w:V⟶𝐂$

tale che:

$L_w(𝐯)=⟨A𝐯,𝐰⟩$

per ogni $𝐯$ di $V$. Si tratta di un operatore continuo poiché $A$ è continuo e così pure il prodotto hermitiano.

Se l'operatore è limitato il teorema di rappresentazione di Riesz afferma che esiste un unico elemento ${𝐰}^{\prime }$ tale che:

$⟨A𝐯,𝐰⟩=⟨𝐯,{𝐰}^{\prime }⟩$

Si definisce aggiunto di A l'unico operatore A^* tale che:

$⟨𝐯,A^{*}𝐰⟩=⟨𝐯,{𝐰}^{\prime }⟩$

ovvero:

$⟨A𝐯,𝐰⟩=⟨𝐯,A^{*}𝐰⟩$

Se M è la matrice che rappresenta $A$ rispetto ad una base di $V$, la matrice che rappresenta $A^{*}$ rispetto alla stessa base è la matrice trasposta complessa coniugata di M.

Vale inoltre il teorema che se l'operatore $A^{*}$ è aggiunto di $A$ allora:

$\Vert A\Vert =\Vert A^{*}\Vert$

L'operatore aggiunto $A^{*}$ è dunque tale che:

${𝐰}^{\prime }=A^{*}𝐰$

La sua esistenza per gli operatori limitati è garantita dal teorema di Riesz, ed ha la proprietà di essere anch'esso un operatore limitato:

$|⟨A^{*}𝐰,𝐯⟩|=|⟨𝐰,A𝐯⟩|\le \Vert 𝐰\Vert \Vert A\Vert \Vert 𝐯\Vert$

dalla quale si ha che:

$\frac{\Vert A^{*}𝐰\Vert }{\Vert 𝐰\Vert }\le \Vert A\Vert$

Se $A=A^{*}$ si dice che tale operatore è autoaggiunto o hermitiano, e si ha:

$⟨A𝐯,𝐰⟩=⟨𝐯,A𝐰⟩$

Operatori non limitati

Nel caso di operatori non limitati il teorema di rappresentazione di Riesz perde di validità. In tal caso è possibile definire l'operatore aggiunto di operatori densamente definiti, ovvero gli operatori tali per cui la chiusura del dominio coincide con l'intero spazio vettoriale.

Sia $H$ uno spazio di Hilbert con prodotto hermitiano $⟨,⟩$ e sia $A$ un operatore lineare densamente definito in $H$. Sia $D(A^{*})$ l'insieme di tutti gli elementi $\varphi \in H$ tali per cui esiste $\eta \in H$ tale che:

$⟨A\psi ,\varphi ⟩=⟨\psi ,\eta ⟩\mathrm{\forall }\psi \in D(A)$

Per ogni $\varphi \in D(A^{*})$ si definisce aggiunto di $A$ l'operatore $A^{*}$ tale che:

$A^{*}\varphi =\eta$

ovvero:

$⟨A\psi ,\varphi ⟩=⟨\psi ,A^{*}\varphi ⟩$

Il lemma di Riesz permette inoltre di concludere che $\varphi \in D(A^{*})$ se e solo se:

$|⟨A\psi ,\varphi ⟩|\le C\Vert \psi \Vert \mathrm{\forall }\psi \in D(A)$

Proprietà

L'aggiunto gode delle seguenti proprietà:

• $A^{**}=A$
• Se A è invertibile, lo è anche A* e si ha:

$(A^{*}{)}^{-1}=(A^{-1}{)}^{*}$

• $(A+B{)}^{*}=A^{*}+B^{*}$ se A o B sono limitati
• Se $\lambda$ è un numero complesso si ha:

$(\lambda A{)}^{*}={\lambda }^{*}{A}^{*}$

• $(AB{)}^{*}=B^{*}{A}^{*}$

Inoltre, la relazione tra l'immagine di $A$ ed il nucleo dell'aggiunto è data da:

$\ker A^{*}={(\mathrm{im}A)}^{\mathrm{\perp }}$

Infatti:

$\begin{array}{cc}{A}^{*}𝐯=0& ⟺⟨A^{*}𝐯,𝐰⟩=0\mathrm{\forall }𝐰\in H\\ & ⟺⟨𝐯,A𝐰⟩=0\mathrm{\forall }𝐰\in H\\ & ⟺𝐯\mathrm{\perp }\mathrm{im}A\end{array}$

ed inoltre:

${(\ker A^{*})}^{\mathrm{\perp }}=\overline{\mathrm{im}A}$

che segue dalla prima considerando lo spazio ortogonale per entrambi i membri. L'immagine non è necessariamente un insieme chiuso, mentre lo è il nucleo di un operatore continuo.

Spettro dell'operatore aggiunto

Template:Vedi anche Lo spettro $\sigma (T)$ ed il risolvente $R_{\lambda }(T)$ di un operatore $T$ definito su uno spazio di Banach coincidono con quelli del suo aggiunto, mentre in uno spazio di Hilbert si ha che:

$\sigma (T^{*})=\{\lambda :\overline{\lambda }\in \sigma (T)\}{R}_{\lambda }(T^{*})=R_{\lambda }(T{)}^{*}$

Se $\lambda$ appartiene allo spettro residuo di $T$, allora $\lambda$ appartiene allo spettro puntuale dell'aggiunto $T^{\prime }$. Se invece $\lambda$ appartiene allo spettro puntuale di $T$, allora esso appartiene sia allo spettro puntuale e sia allo spettro residuo di $T^{\prime }$.

Inoltre, se $T$ è autoaggiunto su uno spazio di Hilbert si ha:

• $T$ non ha spettro residuo.
• Lo spettro $\sigma (T)$ è un sottoinsieme di $ℝ$,ovvero gli autovalori sono reali.
• Autovettori relativi ad autovalori distinti sono ortogonali.

Bibliografia

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Voci correlate

• Operatore (matematica)
• Operatore limitato
• Operatore autoaggiunto
• Operatore lineare continuo
• Operatore unitario

Collegamenti esterni

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