Corrispondenza biunivoca

In matematica una corrispondenza biunivoca tra due insiemi $X$ e $Y$ è una relazione binaria tra $X$ e $Y$ , tale che ad ogni elemento di $X$ corrisponda uno ed un solo elemento di $Y$ , e viceversa ad ogni elemento di $Y$ corrisponda uno ed un solo elemento di $X$ . In particolare, la corrispondenza biunivoca è una relazione di equivalenza.

Lo stesso concetto può anche essere espresso usando le funzioni. Si dice che una funzione

f : X \to Y

è biiettiva se per ogni elemento $y$ di $Y$ vi è uno e un solo elemento $x$ di $X$ tale che $f (x) = y$ .

Una tale funzione è detta anche biiezione, bigezione, funzione bigettiva o funzione biunivoca.

Proprietà

Iniettività e suriettività

Una funzione $f : X \to Y$ è biiettiva se e solo se è contemporaneamente iniettiva e suriettiva^[1], cioè se soddisfa le seguenti condizioni:

$a_{1} \neq a_{2}$ implica $f (a_{1}) \neq f (a_{2})$ per ogni $a_{1}$ , $a_{2}$ scelti in $X$ ;
$\forall y \in Y \exists x \in X$ tale che $f (x) = y$ , cioè ogni elemento del codominio è immagine di un elemento del dominio.

Invertibilità

Una funzione $f : X \to Y$ è biiettiva se e solo se è invertibile, cioè se e solo se esiste una funzione $g : Y \to X$ tale che la funzione composta $f g$ venga a coincidere con la funzione identità su $Y$ e che la funzione $g f$ coincida con l'identità su $X$ . La funzione $g$ se esiste è unica, viene chiamata funzione inversa di $f$ e denotata con $f^{- 1}$ .

Composizione

La composizione $g \circ f : X \to Z$ di due funzioni biiettive $f : X \to Y$ e $g : Y \to Z$ è ancora biiettiva.