Parte interna

In matematica, e più precisamente in topologia, la parte interna di un insieme $S$ consiste in tutti i punti che sono intuitivamente «non sui bordi di $S$». Un punto della parte interna di $S$ è un punto interno di $S$. La nozione di parte interna è per molti versi il duale della nozione di chiusura.

Definizioni

Se $S$ è un sottoinsieme di uno spazio euclideo, allora $x$ è un punto interno di $S$ se esiste una palla aperta centrata in $x$ e contenuta in $S$.

Questa definizione si generalizza a ogni sottoinsieme $S$ di uno spazio metrico $X$, infatti se $X$ è uno spazio metrico con metrica $d$, allora $x$ è un punto interno di $S$ se esiste $r>0$ tale che $y$ sia in $S$ ogni volta che la distanza è $d(x,y)<r$.

La parte interna di un sottoinsieme $S$ di uno spazio euclideo è l'insieme di tutti i punti interni di S.

L'interno di $S$ è indicato con $\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{t}(S)$, $\mathrm{I}\mathrm{n}\mathrm{t}(S)$, o $\stackrel{\circ }{S}$. In altre parole:

$\mathrm{I}\mathrm{n}\mathrm{t}(S)=\{x\in S|\mathrm{\exists }U(x):U(x)\subset S\}$

dove si indica con $U(x)$ un intorno di $x$.

Nota che queste proprietà sono soddisfatte anche se "interno", "sottoinsieme", "unione", contenuto in", "più grande" e "aperto" sono sostituiti da "chiusura", "superinsieme", "intersezione", "che contiene", "più piccolo" e "chiuso". Per maggiori informazioni sull'argomento, vedi operatore di interno più in basso.

Caso generale in uno spazio topologico

Questa definizione si generalizza a uno spazio topologico sostituendo la "palla aperta" con "intorno". Nota che questa definizione non dipende dal fatto che gli intorni siano aperti oppure no.

Sia $(X,\tau )$ spazio topologico e sia $S\subseteq X$. Un punto $x\in X$ si dice interno a $S$ se $\mathrm{\exists }U\in \tau$ tale che $x\in U\subseteq S$_, ossia se $S$ è un intorno di $x$.

La parte interna di un sottoinsieme $S$ è l'insieme di tutti i punti interni di $S$ ed è indicato con $Int(S)$ oppure $\stackrel{\circ }{S}$.

Proprietà

Sia $(X,\tau )$ spazio topologico e siano $A$,$B$ sottoinsiemi di $X$.

Allora:

• $\mathrm{I}\mathrm{n}\mathrm{t}(A)\subseteq A$ è un aperto in $X$ ed è il più grande aperto contenuto in $A$;
• $A$ è aperto in $X$ $\iff$ $A=\mathrm{I}\mathrm{n}\mathrm{t}(A)$;
• $A\subseteq B\Rightarrow \mathrm{I}\mathrm{n}\mathrm{t}(A)\subseteq \mathrm{I}\mathrm{n}\mathrm{t}(B)$;
• $\mathrm{I}\mathrm{n}\mathrm{t}(A\cup B)\supseteq \mathrm{I}\mathrm{n}\mathrm{t}(A)\cup \mathrm{I}\mathrm{n}\mathrm{t}(B)$
• $\mathrm{I}\mathrm{n}\mathrm{t}(A\cap B)=\mathrm{I}\mathrm{n}\mathrm{t}(A)\cap \mathrm{I}\mathrm{n}\mathrm{t}(B)$.

Osserviamo che quindi queste proprietà valgono anche in un qualsiasi spazio metrico e spazio euclideo.

Esempi

• In ogni spazio la parte interna dell'insieme vuoto è l'insieme vuoto.
• In ogni spazio $X$,$\stackrel{\circ }{X}=X$.
• Se $X$ è lo spazio euclideo $ℝ$ dei numeri reali, allora $\mathrm{I}\mathrm{n}\mathrm{t}([0,1])=(0,1)$.
• Se $X$ è lo spazio euclideo $ℝ$, allora la parte interna dell'insieme $\mathbb{Q}$ dei numeri razionali è vuoto.
• Se $X$ è il piano complesso $ℂ={ℝ}^2$, allora $\mathrm{Int}(z\in ℂ:|z|\ge 1)=\{z\in ℂ:|z|>1\}.$
• In ogni spazio euclideo, la parte interna di ogni insieme finito è l'insieme vuoto.

Sull'insieme dei numeri reali è possibile porre un'altra topologia diversa da quella standard.

• Se $X=ℝ$, dove $ℝ$ ha la topologia del limite inferiore, allora $\mathrm{I}\mathrm{n}\mathrm{t}([0,1])=[0,1)$.
• Se si considera su $ℝ$ la topologia nella quale ogni insieme è aperto, allora $\mathrm{I}\mathrm{n}\mathrm{t}([0,1])=[0,1]$.
• Se si considera su $ℝ$ la topologia nella quale gli unici insiemi aperti sono l'insieme vuoto e $ℝ$ stesso, allora $\mathrm{I}\mathrm{n}\mathrm{t}([0,1])=\mathrm{\varnothing }$.

Questi esempi mostrano che l'interno di un insieme dipende dalla scelta della topologia dello spazio sottostante. Gli ultimi due esempi sono casi particolari dei seguenti:

• In ogni spazio discreto, dal momento che ogni insieme è aperto, ogni insieme è uguale al suo interno.
• In ogni spazio banale $X$, dal momento che gli unici insiemi aperti sono l'insieme vuoto e $X$ stesso, abbiamo $\mathrm{I}\mathrm{n}\mathrm{t}(X)=X$ e per ogni sottoinsieme proprio $A$ di $X$, $\stackrel{\circ }{A}=\mathrm{\varnothing }$.

Operatore parte interna

Dato un insieme $S$, lTemplate:'operatore parte interna $\stackrel{\circ }{S}$ è il duale dell'operatore di chiusura $\overline{S}$, nel senso che

$\stackrel{\circ }{S}=X\mathrm{\setminus }\overline{(X\mathrm{\setminus }S)}$

e anche

$\overline{S}=X\mathrm{\setminus }\stackrel{\circ }{(X\mathrm{\setminus }S)}$

dove $X$ indica lo spazio topologico contenente $S$, e $\mathrm{\setminus }$ indica il complemento di un insieme.

Di conseguenza la teoria astratta degli operatori di chiusura e gli assiomi di chiusura di Kuratowski possono essere facilmente tradotti nel linguaggio degli operatori parte interna, sostituendo gli insiemi con i loro complementi.

Bibliografia

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Collegamenti esterni

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