Trasformazione non singolare

In teoria della misura, una trasformazione non singolare è un particolare tipo di trasformazione misurabile tale che l'immagine inversa di insiemi trascurabili (cioè insiemi di misura nulla) attraverso di essa rimane trascurabile. Ogni trasformazione che preserva la misura è necessariamente una trasformazione non singolare, così come ogni trasformazione ergodica.

Definizione

Una trasformazione misurabile $S:X\to X$ su uno spazio di misura $(X,𝒜,\mu )$ è detta non singolare se $\mu (S^{-1}(A))=0$ per ogni insieme $A\in 𝒜$ tale che $\mu (A)=0$.

Teorema di cambiamento di variabile per trasformazioni non singolari

Sia $(X,𝒜,\mu )$ uno spazio di misura, $S:X\to X$ una trasformazione non singolare, $f:X\to X$ una funzione misurabile tale che $f\circ S\in L^1(X,𝒜,\mu )$. Allora per ogni $A\in 𝒜$,

$\underset{S^{-1}(A)}{\overset{}{\int }}f(S(x))\mu (dx)=\underset{A}{\overset{}{\int }}f(x)\mu S^{-1}(dx)=\underset{A}{\int }f(x)J^{-1}(x)\mu (dx),$

con

$\mu S^{-1}(B)=\mu (S^{-1}(B))$

$\mu (S^{-1}(B))=\underset{B}{\overset{}{\int }}{J}^{-1}(x)\mu (dx).$

Bibliografia

• Andrzej Lasota and Michael C Mackey. Chaos, fractals, and noise: stochastic aspects of dynamics. Springer, second edition, 1994.
• Piermarco Cannarsa and Teresa D’Aprile. Introduzione alla teoria della misura e all’analisi funzionale. Springer, 2008 edition, 2008.
• Michael Brin and Garrett Stuck. Introduction to Dynamical Systems. Cambridge, 2002.

Voci correlate

• Spazio di misura
• Funzione misurabile
• Teoria ergodica
• Operatore di Frobenius-Perron
• Trasformazione che preserva la misura