Controimmagine

La controimmagine $f^{-1}(U)$ di un insieme $U$ è il sottoinsieme dei punti di $X$ che vengono associati a punti di $U$ da $f$

In matematica, la controimmagine di un sottoinsieme del codominio di una funzione, anche detta immagine inversa, fibra, antiimmagine, retroimmagine o preimmagine, è l'insieme degli elementi del dominio che la funzione associa a tale sottoinsieme. Si tratta quindi di un sottoinsieme del dominio della funzione.

Definizione

Data una funzione $f:A\to B$, la controimmagine di un insieme $B_1\subseteq B$ tramite $f$ è un sottoinsieme di $A$, indicato con $f^{-1}(B_1)$ tale che $a$ appartiene a $f^{-1}(B_1)$ se e solo se $f(a)$ appartiene a $B_1$. In modo equivalente:

$f^{-1}(B_1):=\{a\in A|f(a)\in B_1\}\subseteq A.$

Talvolta si considera il seguente insieme, chiamato fibra di $b$, la cui notazione è leggermente impropria:

$f^{-1}(b):=\{a\in A|f(a)=b\}\subseteq A.$

Tali insiemi, che dovrebbero essere più propriamente indicati $f^{-1}(\{b\})$, sono di particolare importanza quando le funzioni coinvolte sono funzioni reali; in questo caso vengono anche detti insiemi di livello o curve di livello. In topologia, invece, si chiamano fibre.

Proprietà

Considerata una funzione $f:A\to B$, valgono le seguenti proprietà:

• $f^{-1}\left(\mathrm{I}\mathrm{m}f\right)=f^{-1}(f(A))=A.$

• Se $B_1\subseteq B_2\subseteq B$, allora $f^{-1}(B_1)\subseteq f^{-1}(B_2)\subseteq A.$

In $B_2$ potrebbe esserci un elemento $b$ che appartiene all'immagine di $f$ ma non a $B_1$.

• La controimmagine dell'unione di due insiemi è l'unione delle due controimmagini. In simboli: $f^{-1}(B_1\cup B_2)=f^{-1}(B_1)\cup f^{-1}(B_2).$
  • In generale: $f^{-1}\left(\bigcup _i{B}_i\right)=\bigcup _i{f}^{-1}(B_i).$

• La controimmagine dell'intersezione di due insiemi è l'intersezione delle due controimmagini. In simboli: $f^{-1}(B_1\cap B_2)=f^{-1}(B_1)\cap f^{-1}(B_2).$
  • In generale: $f^{-1}\left(\bigcap _i{B}_i\right)=\bigcap _i{f}^{-1}(B_i).$

• La controimmagine della differenza di due insiemi è la differenza delle due controimmagini. In simboli: $f^{-1}(B_1\setminus B_2)=f^{-1}(B_1)\setminus f^{-1}(B_2).$

• Per ogni $A_1\subseteq A$ sottoinsieme del dominio, allora $A_1\subseteq f^{-1}(f(A_1))$ e l'uguaglianza vale sempre se e solo se la funzione $f$ è iniettiva.

Potrebbero esserci elementi del dominio che non stanno in $A_1$ ma che hanno la stessa immagine di un elemento in $A_1$. Ovviamente se $f$ è iniettiva questo non può succedere.

• Per ogni $B_1\subseteq B$ sottoinsieme del codominio, allora $f(f^{-1}(B_1))\subseteq B_1$ e l'uguaglianza vale sempre se e solo se la funzione $f$ è suriettiva.

Potrebbero esserci elementi in $B_1$ che non appartengono all'immagine di $f$. Se però $f$ è suriettiva questo non accade.

• Se $g:B\to C$; e $C_1\subseteq C,$  allora ${(g\circ f)}^{-1}(C_1)=f^{-1}(g^{-1}(C_1)).$

Esempi

Sia $f:ℝ\to ℝ$ tale che $x\mapsto x^2$. Allora $f^{-1}([1,4])=[-2,-1]\cup [1,2].$

Bibliografia

• Marco Abate e Chiara de Fabritiis. Geometria analitica con elementi di algebra lineare. Milano, McGraw-Hill, 2006. ISBN 8838662894.
• Giulio Campanella. Appunti di algebra. Roma, Nuova Cultura, 2005. ISBN 8889362227.

Voci correlate

• Immagine (matematica)
• Funzione composta
• Funzione inversa

Collegamenti esterni

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