Trasformazione lineare

In matematica, e più precisamente in algebra lineare, una trasformazione lineare, detta anche applicazione lineare o mappa lineare, è una funzione lineare tra due spazi vettoriali sullo stesso campo, cioè una funzione che conserva le operazioni di somma di vettori e di moltiplicazione per uno scalare. In altre parole, una trasformazione lineare preserva le combinazioni lineari. Nel linguaggio dell'algebra astratta, una trasformazione lineare è un omomorfismo di spazi vettoriali, in quanto conserva le operazioni che caratterizzano gli spazi vettoriali.

In analisi funzionale una trasformazione lineare è spesso detta operatore lineare. In tale contesto, particolare importanza rivestono gli operatori lineari continui tra spazi vettoriali topologici, come ad esempio spazi di Banach.

Definizione

Siano $V$ e $W$ due spazi vettoriali sullo stesso campo $K.$ Una funzione $f:V\to W$ è una trasformazione lineare se soddisfa le seguenti proprietà:

• $f(𝐱+𝐲)=f(𝐱)+f(𝐲),$
• $f(a𝐱)=af(𝐱),$

per ogni coppia di vettori $𝐱$ e $𝐲$ in $V$ e per ogni scalare $a$ in $K.$ La prima proprietà è detta additività, la seconda omogeneità di grado 1.

Equivalentemente, $f$ è lineare se "preserva le combinazioni lineari" (principio di sovrapposizione), ossia se:

$f(a_1{𝐱}_1+\cdots +a_m{𝐱}_m)=a_{1}f({𝐱}_1)+\cdots +a_{m}f({𝐱}_m),$

per ogni intero positivo $m$ e ogni scelta dei vettori ${𝐱}_1,\dots ,{𝐱}_m$ e degli scalari $a_1,\dots ,a_m.$

Se $f:V\to W$ è una applicazione lineare e ${\mathrm{𝟎}}_V$ e ${\mathrm{𝟎}}_W$ sono i vettori nulli di $V$ e $W$ rispettivamente, allora:

$f({\mathrm{𝟎}}_V)=f({\mathrm{𝟎}}_V+{\mathrm{𝟎}}_V)=f({\mathrm{𝟎}}_V)+f({\mathrm{𝟎}}_V),$

e togliendo $f({\mathrm{𝟎}}_V)$ da ambo i membri si ottiene

${\mathrm{𝟎}}_W=f({\mathrm{𝟎}}_V).$

Sostituendo allo zero una combinazione lineare di vettori linearmente dipendenti si dimostra che un'applicazione lineare iniettiva manda sottoinsiemi del dominio linearmente indipendenti in sottoinsiemi del codominio linearmente indipendenti.

Un'applicazione lineare è descritta completamente attraverso la sua azione sui vettori di una base qualsiasi del dominio. Poiché la scrittura di un vettore in una data base è unica, la linearità dell'applicazione determina l'unicità del vettore immagine.

Un'applicazione lineare biunivoca (o invertibile) è inoltre un isomorfismo tra spazi vettoriali.

Esistenza e unicità dell'applicazione lineare

Siano $V$ e $W$ due spazi vettoriali di dimensione finita. Sia $B_V=({𝐯}_1,\dots ,{𝐯}_n)$ una base di $V$ e siano ${𝐰}_1,\dots ,{𝐰}_n$ vettori di $W.$ Allora esiste un'unica applicazione lineare da $V$ in $W$ tale che:

$f({𝐯}_i)={𝐰}_i,\mathrm{\forall }i=1,\dots ,n.$

Nel caso non si conosca la forma esplicita dell'applicazione è comunque possibile stabilirne l'esistenza e l'unicità attraverso la conoscenza dell'azione dell'applicazione su un insieme di vettori dati $\{{𝐯}_i\}$, dei quali si conosce quindi l'immagine. Se l'insieme di vettori è una base del dominio allora l'applicazione è univocamente determinata, mentre se i vettori dati non costituiscono una base ci sono due casi:

• I vettori di cui si conosce l'immagine sono linearmente indipendenti: in tal caso l'applicazione esiste ma non è unica.
• I vettori di cui si conosce l'immagine sono linearmente dipendenti: in tal caso uno o più vettori sono combinazione lineare dei restanti. Si ha:

${𝐯}_j=\sum _{i=1}^n{a}_i{𝐯}_i.$

L'applicazione esiste (ma non è unica) se e solo se:

$f({𝐯}_j)=\sum _{i=1}^n{a}_{i}f({𝐯}_i).$

Matrice associata

Template:Vedi anche Siano $V$ e $W$ due spazi vettoriali di dimensione finita. Scelte due basi $B_V$ e $B_W$ per $V$ e $W,$ ogni trasformazione lineare da $V$ a $W$ è rappresentabile come una matrice. Si ponga:

$B_V=({𝐯}_1,\dots ,{𝐯}_n),$

$B_W=({𝐰}_1,\dots ,{𝐰}_m).$

Ogni vettore $𝐯$ in $V$ è univocamente determinato dalle sue coordinate $c_1,\dots ,c_n,$ definite in modo che:

$𝐯=c_1{𝐯}_1+\cdots +c_n{𝐯}_n.$

Se $f:V\to W$ è una trasformazione lineare si ha:

$f(𝐯)=f(c_1{𝐯}_1+\cdots +c_n{𝐯}_n)=c_{1}f({𝐯}_1)+\cdots +c_{n}f({𝐯}_n).$

Quindi la funzione $f$ è determinata dai vettori $f({𝐯}_1),\dots ,f({𝐯}_n)$. Ciascuno di questi è scrivibile come:

$f({𝐯}_j)=a_{1j}{𝐰}_1+\cdots +a_{mj}{𝐰}_m.$

La funzione $f$ è dunque interamente determinata dai valori di $a_{i,j},$ che formano la matrice associata a $f$ nelle basi $B_V$ e $B_W.$

La matrice associata $A$ è di tipo $m\times n,$ e può essere usata agevolmente per calcolare l'immagine $f(𝐯)$ di ogni vettore di $V$ grazie alla relazione seguente:

$A[𝐯{]}_{B_V}=[𝐰{]}_{B_W},$

dove $[𝐯{]}_{B_V}$ e $[𝐰{]}_{B_W}$ sono le coordinate di $𝐯$ e $𝐰$ nelle rispettive basi.

Si nota che la scelta delle basi è essenziale: la stessa matrice, usata su basi diverse, può rappresentare applicazioni lineari diverse.

Struttura di spazio vettoriale

L'insieme $\mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}(V,W)$ delle applicazioni lineari da $V$ in $W$ è un sottospazio vettoriale dello spazio vettoriale sul campo $K$ formato da tutte le funzioni da $V$ in $W,$ infatti:

• se $f:V\to W$ e $g:V\to W$ sono lineari, allora è lineare la loro somma $f+g,$ definita dalla relazione

$(f+g)(𝐯)=f(𝐯)+g(𝐯);$

• se $f:V\to W$ è lineare e $a$ è un elemento del campo $K,$ allora la funzione $af,$ definita da $(af)(𝐯)=a(f(𝐯)),$ è anch'essa lineare.

Nel caso finito-dimensionale, dopo aver fissato delle basi, le operazioni di somma e prodotto di una funzione per uno scalare di applicazioni lineari corrispondono rispettivamente a somma di matrici e moltiplicazione di matrici per uno scalare. Le basi definiscono quindi un isomorfismo $\mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}(V,W)\to M(n,m)$ tra gli spazi vettoriali delle applicazioni lineari e delle matrici $n\times m,$ dove $m$ e $n$ sono le dimensioni rispettivamente di $V$ e $W.$

Nucleo e immagine

Template:Vedi anche Se $f:V\to W$ è lineare, il nucleo di $f$ è l'insieme:

$\mathrm{K}\mathrm{e}\mathrm{r}(f)=\{𝐱\in V:f(𝐱)=0\},$

mentre l'immagine di $f$ è l'insieme:

$\mathrm{Im}(f)=\{f(𝐱)\in W:𝐱\in V\}.$

L'insieme $\mathrm{K}\mathrm{e}\mathrm{r}(f)$ è un sottospazio di $V$, mentre $\mathrm{Im}(f)$ è un sottospazio di $W$. Se $V$ e $W$ hanno dimensione finita, il teorema della dimensione asserisce che:

$\dim (\mathrm{K}\mathrm{e}\mathrm{r}(f))+\dim (\mathrm{Im}(f))=\dim (V).$

Questo teorema fornisce un criterio necessario e sufficiente al fine di stabilire l'esistenza di una trasformazione lineare.

Endomorfismi e automorfismi

Una trasformazione lineare $f:V\to V$ è un endomorfismo di $V.$ L'insieme di tutti gli endomorfismi $\text{End}(V)$ insieme a addizione, composizione e moltiplicazione per uno scalare come descritti sopra formano un'algebra associativa con unità sul campo $K$: in particolare formano un anello e uno spazio vettoriale su $K.$ L'elemento identità di questa algebra è la trasformazione identità di $V.$

Un endomorfismo biiettivo di $V$ viene chiamato automorfismo di $V.$ La composizione di due automorfismi è di nuovo un automorfismo, e l'insieme di tutti gli automorfismi di $V$ forma un gruppo, il gruppo generale lineare di $V,$ chiamato $\mathrm{A}\mathrm{u}\mathrm{t}(V)$ o $\mathrm{G}\mathrm{L}(V).$

Se la dimensione di $V$ è finita basterà che $f$ sia iniettiva per poter affermare che sia anche suriettiva (per il teorema della dimensione). Inoltre l'isomorfismo

$\text{End}(V)\to M(n)$

fra gli endomorfismi e le matrici quadrate $n\times n$ descritto sopra è un isomorfismo di algebre. Il gruppo degli automorfismi di $V$ è isomorfo al gruppo lineare generale $\mathrm{G}\mathrm{L}(n,K)$ di tutte le matrici $n\times n$ invertibili a valori in $K.$

Pull-Back di funzioni ed applicazione trasposta

Template:Vedi anche Siano $A,$ $B$ e $C$ insiemi e siano $F(A,C)$ e $F(B,C)$ le famiglie di funzioni da $A$ in $C$ e da $B$ in $C$ rispettivamente. Ogni $\varphi :A\to B$ determina univocamente una corrispondenza ${\varphi }^{*}:F(B,C)\to F(A,C)$ chiamata pull-back tramite $\varphi ,$ che manda $F$ in $F\circ \varphi .$

Se nello specifico si considerano $A=V$ e $B=W$ due spazi vettoriali su un campo $K=C$ e anziché prendere interamente $F(V,K)$ e $F(W,K)$ si considerano gli spazi duali $V^{*}$ e $W^{*}$ si ha che ad ogni trasformazione lineare $\varphi :V\to W$ si può associare l'opportuna restrizione del pull-back tramite $\varphi$, ovvero la funzione ${\varphi }^{*}:W^{*}\to V^{*}$ che prende il nome di trasposta di $\varphi .$

Segue direttamente da come sono definite le operazioni in $V^{*}$ e $W^{*}$ che ${\varphi }^{*}$ è a sua volta lineare. Con un semplice calcolo si vede che fissate delle basi per $V$ e $W$ e le rispettive duali in $V^{*}$ e $W^{*},$ la matrice di trasformazione associata a ${\varphi }^{*}$ è la trasposta di quella di $\varphi .$

Segue dalla definizione che un funzionale $\lambda \in W^{*}$ viene mandato in zero da ${\varphi }^{*}$ solo se l'immagine di $\varphi$ è contenuta nel nucleo di $\lambda$ cioè, indicando con $U^{\perp }$ il sottospazio dei funzionali che annullano $U\subset W$, si ha $\mathrm{K}\mathrm{e}\mathrm{r}({\varphi }^{*})\subseteq (\mathrm{\Im }\varphi {)}^{\perp }$. Inoltre dalla stessa definizione si deduce che un funzionale $\mu \in V^{*}$ è immagine di un funzionale $\eta \in W^{*}$ (vale a dire $\mu ={\varphi }^{*}(\eta )$ solo se $\eta$ annulla il nucleo di $\varphi$, ossia $\mathrm{\Im }({\varphi }^{*})\subseteq (\mathrm{K}\mathrm{e}\mathrm{r}\varphi {)}^{\perp }$ . Nel caso in cui $V$ e $W$ siano di dimensione finita si deduce dal teorema della dimensione e dalle relazioni $\dim V=\mathrm{K}\mathrm{e}\mathrm{r}\varphi +(\mathrm{K}\mathrm{e}\mathrm{r}\varphi {)}^{\perp }$ e $\dim W^{*}=\dim W=\mathrm{\Im }\varphi +(\mathrm{\Im }\varphi {)}^{\perp }$ che le due inclusioni precedenti sono a tutti gli effetti uguaglianze.

Esempi

• La moltiplicazione $f(v)=av,$ in qualsiasi spazio vettoriale su $K,$ per una costante fissata $a\in K.$
• Una rotazione del piano euclideo rispetto all'origine di un angolo fissato.
• Una riflessione del piano euclideo rispetto ad una retta passante per l'origine.
• La proiezione di uno spazio vettoriale $V$ decomposto in somma diretta:

  $V=U\oplus W$

  su uno dei due sottospazi $U$ o $W.$
• Una matrice $A$ di tipo $m\times n$ con valori reali definisce una trasformazione lineare:

  $L_A:{ℝ}^n\to {ℝ}^m,L_A(v)=Av,$

  dove $Av$ è il prodotto di $A$ e $v.$ Ogni trasformazione lineare tra spazi vettoriali di dimensione finita è essenzialmente di questo tipo: si veda la sezione seguente.
• L'integrale di una funzione reale su un intervallo definisce una mappa lineare dallo spazio vettoriale delle funzioni continue definite sull'intervallo nello spazio vettoriale $ℝ.$
• La derivata definisce una mappa lineare dallo spazio vettoriale di tutte le funzioni derivabili in qualche intervallo aperto di $ℝ$ nello spazio di tutte le funzioni.
• Lo spazio $ℂ$ dei numeri complessi ha una struttura di spazio vettoriale complesso di dimensione 1, e anche di spazio vettoriale reale di dimensione 2. La coniugazione

  $f:ℂ\to ℂ,f(z)=\overline{z}$

  è una mappa $ℝ$-lineare ma non $ℂ$-lineare: infatti la proprietà di omogeneità vale solo per scalari reali.

Bibliografia

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Voci correlate

• Autovettore e autovalore
• Combinazione lineare
• Funzionale lineare
• Funzione lineare
• Linearità (matematica)
• Matrice di trasformazione
• Operatore lineare continuo
• Pull-back
• Teorema della dimensione
• Trasformazione affine
• Spazio duale

Collegamenti esterni

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