Intervallo (matematica)

In matematica, un intervallo è un sottoinsieme dei numeri reali formato da tutti i punti della retta reale che sono compresi tra due estremi $a$ e $b$. Gli estremi possono (ma non devono necessariamente) appartenere all'intervallo e possono essere infiniti.

Definizione

Formalmente, un sottoinsieme $S$ dei numeri reali $ℝ$ o di un altro insieme ordinato è un intervallo se per ogni coppia di elementi $x$ e $y$ di $S$, ogni elemento $z$ appartenente a $ℝ$ tale che $x<z<y$ appartiene anch'esso in $S$. In $ℝ$ gli intervalli corrispondono agli insiemi convessi.

Gli intervalli di $ℝ$ sono quindi gli insiemi seguenti (dove $a$ e $b$ sono due numeri reali tali che $a<b$):

1. $(a,b)=\{x|a<x<b\}$ (intervallo aperto)
2. $[a,b]=\{x|a\le x\le b\}$ (intervallo chiuso)
3. $[a,b)=\{x|a\le x<b\}$ (intervallo chiuso a sinistra)
4. $(a,b]=\{x|a<x\le b\}$ (intervallo chiuso a destra)
5. $(a,+\mathrm{\infty })=\{x|x>a\}$ (intervallo aperto infinito a destra)
6. $[a,+\mathrm{\infty })=\{x|x\ge a\}$ (intervallo chiuso infinito a destra)
7. $(-\mathrm{\infty },b)=\{x|x<b\}$ (intervallo aperto infinito a sinistra)
8. $(-\mathrm{\infty },b]=\{x|x\le b\}$ (intervallo chiuso infinito a sinistra)
9. $(-\mathrm{\infty },+\mathrm{\infty })=ℝ$ (tutta la retta reale)
10. $[a,a]=\{a\}$ (un punto)
11. l'insieme vuoto

I punti $a$ e $b$ sono gli estremi dell'intervallo. Quindi una parentesi quadra $[$ $]$ indica che l'estremo appartiene all'intervallo, mentre una parentesi tonda $($ $)$ indica che non vi appartiene. Una notazione alternativa usa $]$ e $[$ rispettivamente al posto di $($ e $)$. Entrambe le notazioni fanno parte dello standard ISO 31-11 e del successivo ISO 80000-2 come equivalenti sebbene la notazione che prevede l'utilizzo delle parentesi tonde per indicare gli intervalli aperti sia in assoluto la più utilizzata.

I primi quattro intervalli hanno lunghezza $b-a$, i cinque seguenti hanno lunghezza infinita, il punto e l'insieme vuoto hanno lunghezza $0$.

LTemplate:'intervallo unitario è l'intervallo chiuso $[0,1]$.

Proprietà

• L'unione di due intervalli aventi intersezione non vuota è un intervallo. L'intersezione di due intervalli è sempre un intervallo, eventualmente l'insieme vuoto.
• L'immagine di un intervallo mediante una funzione continua da $ℝ$ in $ℝ$ è ancora un intervallo.
• Un sottoinsieme della retta reale è un intervallo se e solo se è connesso.
• Un intervallo è compatto se e solo se è del tipo $[a,b]$.
• Ogni intervallo (anche infinito) è omeomorfo a uno, ed uno solo, di questi cinque intervalli: un punto, $[0,1]$, $[0,1)$, $(0,1)$ o l'insieme vuoto.

Notazioni alternative

Raramente in ambito matematico, ma sovente in ambito ingegneristico, il simbolo ÷, chiamato obelo, viene usato in Italia per indicare un intervallo numerico. Ad esempio 3 ÷ 7 vuol dire 'da tre a sette', estremi compresi.

Bibliografia

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Voci correlate

• Intervalli in un qualsiasi insieme ordinato
• Numeri reali

Collegamenti esterni

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