Pull-back

In matematica, con il termine pull-back, che tradotto letteralmente dall'inglese significa "tirare indietro", ci si riferisce ad un operatore lineare che, dati due spazi vettoriali $𝒱,𝒲$ e un operatore lineare $ℒ:𝒱\to 𝒲$, ad ogni tensore $T\in {𝐓}_q^p(𝒲)$ associa un tensore dello stesso tipo su $𝒱$. Più in generale, questa operazione può essere fatta quando al posto di $𝒱,𝒲$ si considerino due varietà lisce $ℳ,𝒩$ qualsiasi, sostituendo all'operatore lineare $ℒ$ un'applicazione liscia $\mathrm{\Phi }:ℳ\to 𝒩$ e al tensore $T$ un campo tensoriale liscio su $𝒩$.

Nel definire questa operazione si procede per gradi, mostrando che per certi tipi di tensori (o campi tensoriali) all'applicazione lineare (o alla funzione $\mathrm{\Phi }$) non è richiesto che sia un isomorfismo (o diffeomorfismo).

Esiste un operatore "duale" del pull-back che prende il nome di push-forward.

Esempi

Prima di proseguire la trattazione facciamo due esempi semplici che possano fare luce sul significato dell'operatore.

Siano $ℳ,𝒩$ due varietà con dimensione arbitraria, anche diversa, $\mathrm{\Phi }:ℳ\to 𝒩$ e $f:𝒩\to ℝ$. Il pull-back di $f$ tramite $\mathrm{\Phi }$ che si denoterà ${\mathrm{\Phi }}^{*}f:ℳ\to ℝ$ risulterà essere semplicemente la composizione di funzioni:

$f\circ \mathrm{\Phi }=f(\mathrm{\Phi }).$

Ora consideriamo due spazi vettoriali $𝒱,𝒲$ con dimensione finita, non necessariamente uguale, e i rispettivi duali ${𝒱}^{\mathcal{*}},{𝒲}^{\mathcal{*}}$; sia $\alpha \in {𝒲}^{*}$ e $ℒ:𝒱\to 𝒲,$ allora il pull-back di $\alpha$ tramite $ℒ$ definito come ${ℒ}^{*}:{𝒲}^{*}\to {𝒱}^{*},$ cioè ${ℒ}^{*}\alpha \in {𝒱}^{*}$ e tale che per ogni $v\in 𝒱$ sia così definito:

$⟨v,{ℒ}^{*}\alpha ⟩:=⟨ℒv,\alpha ⟩.$

L'operatore ${ℒ}^{*}$ prende anche il nome di aggiunto.

Quindi questi due esempi mostrano ciò che fa il pull-back, cioè "tira indietro" i due tensori ed inoltre abbiamo già studiato il caso in cui sia dato un campo tensoriale di tipo $(0,0)$, cioè una funzione scalare, su una varietà e nel secondo caso un tensore di tipo $(0,1)$ su $𝒲$.

Pull-back di tensori (0,p)

Per questo tipo di tensori si generalizza il discorso fatto sopra per i tensori di tipo $(0,1)$ ed anche in questo caso gli spazi vettoriali $𝒱,𝒲$ potranno non avere la stessa dimensione e quindi $ℒ$ non essere invertibile. Consideriamo $T\in {𝐓}_p^0(𝒲),$ allora si definisce ${ℒ}^{*}T\in {𝐓}_p^0(𝒱)$ in questo modo: dati $v_1,v_2,\cdots ,v_p\in 𝒱$ si ha

${ℒ}^{*}T(v_1,v_2,\dots ,v_p):=T(ℒv_1,ℒv_2,\dots ,ℒv_p).$

L'idea alla base di questa definizione è quella di utilizzare la proprietà universale di linearizzazione; infatti se si considera l'applicazione multilineare così definita:

$\varphi :{𝒲}^{*}\times {𝒲}^{*}\times \cdots \times {𝒲}^{*}\to {\otimes }^p{𝒱}^{*}$

$\varphi ({\beta }^1,\dots ,{\beta }^p)={ℒ}^{*}{\beta }^1\otimes \cdots \otimes {ℒ}^{*}{\beta }^p,$

con ${\beta }^i\in {𝒲}^{*},$ per $i=1,\dots ,p,$, per la proprietà universale di linearizzazione questa definisce un'unica applicazione multilineare

${\otimes }^p{ℒ}^{*}:{\otimes }^p{𝒲}^{*}\to {\otimes }^p{𝒱}^{*}$

tale che

${\otimes }^p{ℒ}^{*}({\beta }^1\otimes \cdots \otimes {\beta }^p)={ℒ}^{*}{\beta }^1\otimes \cdots \otimes {ℒ}^{*}{\beta }^p.$

Ora ricordando che ogni $T\in {𝐓}_p^0(𝒲)$, data una base ${\eta }_i\in {𝒲}^{*},$ per $i=1,\dots ,p,$ di ${𝒲}^{*}$, ammette un'unica scrittura del tipo $T^{i_1,\dots ,i_p}{\eta }_{i_1}\otimes \cdots \otimes {\eta }_{i_p}$, dove abbiamo utilizzato la notazione di Einstein, per linearità si ha l'uguaglianza con la definizione iniziale.

Se ora si considerano due varietà lisce $ℳ,𝒩$ con dimensione rispettivamente $m$ e $n,$ un'applicazione $\mathrm{\Phi }:ℳ\to 𝒩$ liscia e un campo tensoriale $T\in {𝐓}_p^0𝒩$ liscio, l'operazione di pull-back ci consente di "trasferire" il campo tensoriale su $ℳ$.

Ogni applicazione $\mathrm{\Phi }$ liscia tra varietà induce un'applicazione lineare, detta tangente e denotata $T\mathrm{\Phi }:Tℳ\to T𝒩$, tale che per ogni vettore appartenente allo spazio tangente di $ℳ$, in un punto $M$, fa corrispondere un vettore appartenente allo spazio tangente di $𝒩$ nel punto immagine $\mathrm{\Phi }(M)$. Questa applicazione tangente coincide con lo jacobiano della funzione $\mathrm{\Phi }$.

Grazie questa osservazione è banale estendere il pull-back ai campi tensoriali, usando quanto già visto nel caso di campi vettoriali, lavorando puntualmente sulle fibre dei fibrati tensoriali. Infatti ${\mathrm{\Phi }}^{*}T\in {𝐓}_p^0ℳ$ è così definito:

${\mathrm{\Phi }}^{*}T{|}_M(X_1,\dots ,X_p)=T{|}_{\mathrm{\Phi }(M)}(T\mathrm{\Phi }{X}_1,\dots ,T\mathrm{\Phi }{X}_p),$

dove $M$ è un punto sulla varietà $ℳ$ e $X_1,\dots ,X_p\in Tℳ$.

Pull-back di tensori arbitrari

Come nella sezione precedente mostreremo il pull-back per spazi vettoriali e poi estenderemo il tutto alle varietà.

In questo caso si hanno due spazi vettoriali $𝒱,𝒲$ con dimensione uguale, un isomorfismo $ℒ:𝒱\to 𝒲$, e un tensore $T\in {𝐓}_q^p𝒲$; il pull-back, dati ${\beta }^1,\dots ,{\beta }^p\in {𝒱}^{\mathcal{*}}$ e $v_1,\dots ,v_q\in 𝒱$, per definizione è

${ℒ}^{*}T({\beta }^1,\dots ,{\beta }^p,v_1,\dots ,v_q)=T({{ℒ}^{\mathcal{*}}}^{-1}{\beta }^1,\dots ,{{ℒ}^{\mathcal{*}}}^{-1}{\beta }^p,ℒv_1,\dots ,ℒv_q),$

dove ${{ℒ}^{\mathcal{*}}}^{-1}$ indica l'inverso dell'aggiunto che esiste perché ${{ℒ}^{\mathcal{-}1}}^{*}={{ℒ}^{\mathcal{*}}}^{-1},$ infatti

${ℒ}^{\mathcal{*}}:{𝒲}^{\mathcal{*}}\to {𝒱}^{\mathcal{*}},$

${{ℒ}^{\mathcal{*}}}^{-1}:{𝒱}^{\mathcal{*}}\to {𝒲}^{\mathcal{*}}.$

Quindi la definizione è ben posta e nel caso di tensori $(0,q)$ coincide con quella precedente.

Per le varietà si procede in maniera analoga a quanto fatto precedentemente, la differenza è che ora le due varieta $ℳ,𝒩$ devono la stessa dimensione e la funzione $\mathrm{\Phi }$ deve essere un diffeomorfismo; quindi dato un campo tensoriale qualunque su $𝒩$, il suo pull-back risulta essere

${\mathrm{\Phi }}^{*}T{|}_M({\alpha }^1,\dots ,{\alpha }^p,X_1,\dots ,X_q)=T{|}_{\mathrm{\Phi }(M)}(T{\mathrm{\Phi }}^{*-1}{\alpha }^1,\dots ,T{\mathrm{\Phi }}^{*-1}{\alpha }^p,T\mathrm{\Phi }{X}_1,\dots ,T\mathrm{\Phi }{X}_q),$

dove $T\mathrm{\Phi }$ indica sempre l'applicazione tangente e ${\alpha }^i\in T^{*}ℳX_j\in Tℳ$.

Esempio

Si consideri il pull-back di un campo vettoriale $X\in T𝒩$; da quanto detto risulta:

${\mathrm{\Phi }}^{*}X=T{\mathrm{\Phi }}^{-1}X\in ℳ.$

Sia ora $\gamma :I\in ℝ\to 𝒩$ tale che $\frac{d\gamma }{dt}=X,\mathrm{\forall }t\in I,$ e $\gamma (0)=N_0$, cioè la soluzione del problema di Cauchy su $𝒩$ con dato iniziale $N_0$.

Allora si ha che ${\mathrm{\Phi }}^{-1}\circ \gamma$ è soluzione del problema di Cauchy su $ℳ$ con dato iniziale $M_0={\mathrm{\Phi }}^{-1}(N_0)$ del campo vettoriale ${\mathrm{\Phi }}^{*}X$. Quindi se ora si considera il flusso ${\mathrm{\Psi }}_t^X$ indotto dal campo vettoriale $X$ su $𝒩$, il rispettivo flusso del campo vettoriale $T{\mathrm{\Phi }}^{-1}X$ su $ℳ$ risulta essere ${\mathrm{\Phi }}^{-1}\circ {\mathrm{\Psi }}_t^X\circ \mathrm{\Phi }$.

Espressione sulle basi del pull-back

Nelle sezioni precedenti si è presentato il pull-back in maniera astratta senza far ricorso a basi negli spazi vettoriali interessati o a coordinate sulle varietà perché i tensori, e il calcolo tensoriale, nascono come una struttura algebrica completamente intrinseca allo spazio dove vengono definiti, cioè indipendenti dalla scelta di basi.

In questa sezione si mostra invece qual è l'espressione del pull-back sulle basi. Siano $e_1,\dots ,e_n\in 𝒱$ e ${\eta }^1,\dots ,{\eta }^n\in {𝒱}^{*}$ una base su $𝒱$ e la rispettiva base duale su ${𝒱}^{*}$, e siano $f_1,\dots ,f_n\in 𝒲$ e ${\phi }^1,\dots ,{\phi }^n\in {𝒲}^{*}$ una base su $𝒲$ e la duale su ${𝒲}^{*}$. L'operatore $ℒ:𝒱\to 𝒲$ rispetto a queste basi ha rappresentazione

$ℒe_i={ℒ}_i^j{f}_j,$

con $j$ indice di riga e $i$ di colonna, si è utilizzata la notazione di Einstein (per tutta la sezione se ne farà uso). Di conseguenza ${ℒ}^{*}$ si rappresenta

${ℒ}^{*}{\phi }^i={ℒ}_j^i{\eta }^j$

in pratica risulta essere la trasposta. Quindi la componente $({ℒ}^{*}T{)}_{j_1\cdots j_q}^{i_1\cdots i_p}$ su tale base risulta

${ℒ}^{*}T({\eta }^{i_1},\dots ,{\eta }^{i_q},e_{j_1},\dots ,e_{j_p},)=T({ℒ}_{r_1}^{-1i_1}{\phi }^{r_1},\dots ,{ℒ}_{r_p}^{-1i_p}{\phi }^{r_p},{ℒ}_{j_1}^{s_1}{f}_{s_1},\dots ,{ℒ}_{j_q}^{s_q}{f}_{s_q})={ℒ}_{r_1}^{-1i_1}\cdots {ℒ}_{r_p}^{-1i_p}{T}_{s_1\cdots s_q}^{r_1\cdots r_p}{ℒ}_{j_1}^{s_1}\cdots {ℒ}_{j_q}^{s_q},$

dove $T_{s_1\cdots s_q}^{r_1\cdots r_p}=T({\phi }^{i_1},\dots ,{\phi }^{i_p},f_{j_1},\dots ,f_{j_q}).$

Notiamo che se $𝒲=𝒱$, allora $ℒ$ è l'applicazione del cambiamento di base e quindi il risultato ottenuto coincide con il comportamento dei tensori rispetto al cambio di base.

Composizione del pull-back

Sia data una terza varietà $Q$ e un diffeomorfismo $\mathrm{\Psi }:𝒩\to 𝒬,$ allora il pull-back di un campo tensoriale $T\in {𝐓}_q^{p}Q$ su $ℳ$ è il pull-back della composizione di funzioni $\mathrm{\Psi }\circ \mathrm{\Phi }$ che è un diffeomorfismo tra $ℳ$ e $𝒬$ e dato che l'applicazione tangente $T(\mathrm{\Psi }\circ \mathrm{\Phi })=T\mathrm{\Psi }\circ T\mathrm{\Phi }$, si ha la seguente relazione:

$(\mathrm{\Psi }\circ \mathrm{\Phi }{)}^{*}T={\mathrm{\Phi }}^{*}{\mathrm{\Psi }}^{*}T.$

Da questa relazione, dato che il pull-back della funzione identità è l'identità, si ha:

${\mathrm{\Phi }}^{-1*}={\mathrm{\Phi }}^{*-1}.$

Pull-back commuta con la derivata esterna

Date due varietà $ℳ,𝒩$, una funzione liscia $\mathrm{\Phi }:ℳ\to 𝒩$, una q-forma $\theta$ su $ℳ$, si ha la seguente uguaglianza:

${\mathrm{\Phi }}^{*}𝐝\theta =𝐝{\mathrm{\Phi }}^{*}\theta ,$

dove $𝐝$ indica la derivata esterna.

Si noti che è un'uguaglianza tra $(q+1)$-forme su $ℳ$, difatti questa relazione è verificata se è vera l'uguaglianza tra:

${\mathrm{\Phi }}^{*}df=d{\mathrm{\Phi }}^{*}f,$

dove $f$ è una funzione scalare liscia su $𝒩$ (quindi può essere vista come una 0-forma su $𝒩$). Ma questa è immediata perché il pull-back di una funzione è semplicemente una composizione di funzioni; infatti:

${\mathrm{\Phi }}^{*}df=df\circ T\mathrm{\Phi }=d(f\circ \mathrm{\Phi }).$

Da cui ricordando che la regola per la derivata esterna di una $q$-forma $\mathrm{\Omega }={\omega }_{i_1\dots i_q}d{x}^{i_1}\wedge \cdots \wedge d{x}^{i_q}$ è:

$d\mathrm{\Omega }=\frac{\partial {\omega }_{i_1\dots i_q}}{\partial x^j}d{x}^j\wedge d{x}^{i_1}\wedge \cdots \wedge d{x}^{i_q},$

con $i_1<i_2<\cdots <i_q,$ e $\omega :𝒩\to ℝ$ liscia e con somma sugli indici sottintesa (notazione di Einstein).

Pull-back e derivata di Lie

Tra pull-back e derivata di Lie, di un tensore $T$ lungo un campo vettoriale $X$, vi è la seguente relazione:

${ℒ}_{{\mathrm{\Phi }}^{*}X}{\mathrm{\Phi }}^{*}T={\mathrm{\Phi }}^{*}{ℒ}_{X}T.$

La verifica è immediata ricordando l'espressione della derivata di Lie come derivata temporale e dal fatto che ${\mathrm{\Phi }}^{*-1}$ non dipende dal tempo; da cui:

${ℒ}_{{\mathrm{\Phi }}^{*}X}{\mathrm{\Phi }}^{*}T=\frac{d}{dt}{\mathrm{\Phi }}^{*}{\mathrm{\Psi }}_t^{X*}{\mathrm{\Phi }}^{-1*}{\mathrm{\Phi }}^{*}T={\mathrm{\Phi }}^{*}\frac{d}{dt}{\mathrm{\Psi }}_t^{X*}T={\mathrm{\Phi }}^{*}{ℒ}_{X}T.$

Bibliografia

• Ralph Abraham and Jerrold E. Marsden, Foundations of Mechanics, (1978) Benjamin-Cummings, London ISBN 0-8053-0102-X See section 2.2.
• David Bleecker, Gauge Theory and Variational Principles, (1981), Addison-Wesley Publishing, ISBN 0-201-10096-7. See Chapter 0.
• Jurgen Jost, Riemannian Geometry and Geometric Analysis, (2002) Springer-Verlag, Berlin ISBN 3-540-42627-2 See section 1.6.
• Template:Cita libro Extensive discussion of Lie brackets, and the general theory of Lie derivatives.
• Template:Cita libro For generalizations to infinite dimensions.
• Template:Cita libro For generalizations to infinite dimensions.

Voci correlate

• Derivata di Lie
• Derivata esterna