Immagine (matematica)

In matematica, lTemplate:'immagine di un sottoinsieme del dominio di una funzione è l'insieme degli elementi ottenuti applicando la funzione a tale sottoinsieme. Si tratta quindi di un sottoinsieme del codominio della funzione. L'immagine degli elementi dell'intero dominio è anche detta immagine della funzione, e se la funzione è suriettiva essa coincide col codominio.

Talvolta la nozione di immagine è data per il singolo elemento del dominio. In tal caso, l'insieme contenente le immagini di un sottinsieme del dominio viene chiamato, per l'appunto, insieme delle immagini.

Definizione

Sia $f:A\to B$ una funzione. Si definisce immagine di $A$ tramite $f$, o immagine di $f$, il sottoinsieme di $B$ così definito:

$\begin{array}{cccc}f(A)& :=& \{b\in B|b=f(a)\text{per qualche}a\in A\}& =\\ & =& \{b\in B|\mathrm{\exists }a\in A|b=f(a)\}& =\\ & =& \{f(a)\in B|a\in A\}\subseteq B,\end{array}$

ove l'uguaglianza con $B$ sussiste se e solo se la funzione $f$ è suriettiva.

Si tratta, quindi, di quegli elementi $b$ di $B$ per i quali esiste un elemento di $A$ che venga portato in $B$ da $f$.

Notare che nello scrivere $f(A)$ si è attuato un leggero abuso di notazione, in quanto $f$ è una trasformazione che agisce sugli elementi di $A$, non su $A$ stesso. Tale uso è però talmente diffuso che sarebbe inutile provare a combatterlo. Altre notazioni, che non provocano alcun imbarazzo formale e che trovano comunque un certo seguito, sono: $f[A]$ e $\mathrm{I}\mathrm{m}f.$

Più in generale, se $A_1\subseteq A$ è un sottoinsieme del dominio $A$ si chiama immagine di $A_1$ tramite $f$ l'insieme:

$f(A_1):=\{b\in B|b=f(a)\text{per qualche}a\in A_1\}\subseteq B.$

Se $a\in A$, si chiama immagine di $a$ tramite $f$ l'unico elemento $f(a)\in B$ associato ad $a$ da $f$.

Proprietà

Considerata una funzione $f:A\to B$, valgono le seguenti proprietà:

• $f(\varnothing )=\varnothing .$
• Se $A_1\subseteq A_2\subseteq A$ allora $f(A_1)\subseteq f(A_2)\subseteq f(A).$
• L'immagine dell'unione di due insiemi è l'unione delle due immagini. In simboli: $f(A_1\cup A_2)=f(A_1)\cup f(A_2).$
  • In generale: $f\left(\bigcup _i{A}_i\right)=\bigcup _{i}f(A_i).$
• L'immagine dell'intersezione di due insiemi è contenuta nell'intersezione delle due immagini. In simboli: $f(A_1\cap A_2)\subseteq f(A_1)\cap f(A_2)$ e l'uguaglianza vale se la funzione $f$ è iniettiva.
  • In generale: $f\left(\bigcap _i{A}_i\right)\subseteq \bigcap _{i}f(A_i).$
• L'immagine della differenza di due insiemi contiene la differenza delle due immagini. In simboli: $f(A_1\setminus A_2)\supseteq f(A_1)\setminus f(A_2)$ e l'uguaglianza vale se e solo se $f(A_2)\cap f(A_1\setminus A_2)=\varnothing .$

Metodi di calcolo

È un esercizio utile e proposto regolarmente nelle scuole quello, data una funzione, di identificare la sua immagine. Per fare questo, se non si è in grado di farlo a priori (ad esempio, è noto senza fare alcun calcolo che la funzione $x^2$ ha come immagine tutta la semiretta positiva delle ordinate $y$, compreso lo zero), ci sono due metodi: o, con gli strumenti dell'analisi matematica, si identificano gli intervalli di monotonia e i massimi e i minimi, o, con calcoli puramente algebrici, si esplicita la $x$ in funzione della $y$, trovando in pratica la funzione inversa; ad esempio, se

$f(x)=y=e^{x^2}-5,$

allora la sua inversa si ottiene mediante:

$y+5=e^{x^2}⟺\ln (y+5)=x^2⟺\pm \sqrt{\ln (y+5)}=x.$

Visto che nei vari passaggi si è applicato prima un logaritmo e poi una radice quadrata, si ottengono delle restrizioni, le uniche, per la $y$, precisamente $y+5>0$   e   $\ln (y+5)\ge 0.$ L'intersezione di queste due condizioni dà l'immagine, poiché i valori di $y$ risultanti possiedono, per costruzione, un valore di partenza (dato dall'espressione trovata); in questo caso, dunque, l'immagine è $[-4,+\mathrm{\infty }).$

Bibliografia

• Marco Abate e Chiara de Fabritiis, Geometria analitica con elementi di algebra lineare. Milano, McGraw-Hill, 2006. ISBN 8838662894.

Voci correlate

• Controimmagine
• Funzione iniettiva
• Funzione suriettiva
• Studio di funzione
• Immersione (matematica)
• Insieme vuoto
• Nucleo (matematica)

Collegamenti esterni

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