Endomorfismo

Template:Nota disambigua Template:F In matematica, un endomorfismo di una struttura algebrica è una funzione dall'insieme sostegno della struttura in sé, che preservi le operazioni. In altre parole, è un morfismo della struttura algebrica in sé stessa.

Definizione

Sia $X$ un insieme o una struttura. Si definisce endomorfismo una funzione $T$ tale che:

$T:X\to X.$

L'endomorfismo si può quindi attuare su un insieme generico; in varie applicazioni risulta importante considerare gli endomorfismi basati su spazi vettoriali.

Si indica invece con $\mathrm{E}\mathrm{n}\mathrm{d}(X)$ l'insieme degli endomorfismi di $X.$

Operazioni binarie

Se un insieme $X$ è dotato di un'operazione binaria $*$, che associa a due elementi $x$ e $y$ un altro elemento $x*y$ di $X,$ un endomorfismo di $X$ è una funzione $f:X\to X$ tale che

$f(x*y)=f(x)*f(y),$

per ogni $x$ e $y$ in $X.$ L'esempio più importante di insieme dotato di operazione binaria è il gruppo.

Ad esempio, la funzione $f(x)=2x$ dal gruppo dei numeri interi in sé è un endomorfismo rispetto all'operazione di somma. La funzione $f(x)=x+1$ invece no.

Spazi vettoriali

Se $V$ è uno spazio vettoriale, un endomorfismo di $V$ è un'applicazione lineare $T$ da $V$ in sé stesso $T:V\to V.$

Data la precedente definizione relativa agli spazi vettoriali, è interessante chiedersi, essendo l'immagine dell'endomorfismo un sottoinsieme di $V,$ se esistono in $X$ dei sottospazi $U$ di dimensione 1 che sono lasciati invariati per l'azione dell'endomorfismo. Ci si chiede cioè se esistono degli insiemi $U$ tali che $T(U)\subseteq U$. La ricerca di questi sottospazi è riconducibile alla ricerca di particolari vettori, detti autovettori di $T$.

Proprietà

• Un endomorfismo che è anche biiettivo è un automorfismo.
• La funzione identità normalmente è un endomorfismo.
• La composizione di due endomorfismi è un endomorfismo, e quindi la composizione definisce un'operazione binaria su $\mathrm{E}\mathrm{n}\mathrm{d}(X).$
• Definiamo determinante di un endomorfismo $f$ su uno spazio vettoriale di dimensione finita: $\det [f{]}_B^B$, ossia il determinante della matrice associata. Esso non dipende dalla base $B.$
• Definiamo traccia di un endomorfismo $f$ su uno spazio vettoriale di dimensione finita: $\mathrm{t}\mathrm{r}[f{]}_B^B$, ossia la traccia della matrice associata. Essa non dipende dalla base $B.$

Voci correlate

• Morfismo
• Isomorfismo
• Automorfismo
• Endofunzione
• Operatore (matematica)

Collegamenti esterni

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