Nucleo (matematica)

In matematica, in particolare nell'algebra, il nucleo di un omomorfismo è l'insieme dei punti che vengono annullati dalla funzione. Viene definito in modi diversi a seconda del contesto in cui è utilizzato; in generale è legato al concetto di funzione iniettiva. Uno dei casi più significativi è quello di mappe lineari tra gruppi o spazi vettoriali: il nucleo è l'insieme degli elementi del dominio aventi immagine nulla, cioè l'insieme degli elementi che vengono mandati in zero dall'applicazione.

Si tratta di uno zero-insieme. Il nucleo è un sottoinsieme del dominio della funzione, e viene spesso indicato come $\ker (f)$, dal tedesco Kern. Eredita le stesse proprietà algebriche dello spazio in cui vive, ed è strettamente collegato all'immagine della funzione, siccome generalmente nucleo e immagine si comportano in maniera complementare.

Definizione

Omomorfismi

Il nucleo di un omomorfismo di gruppi $f:X\to Y$ è il sottoinsieme di $X$ costituito dai punti che vengono portati dalla funzione nell'elemento neutro di $Y$:

$\ker (f):=\{x\in X:f(x)=0_Y\}.$

In altre parole, il nucleo è l'insieme dei punti che vengono annullati dalla funzione.

Il nucleo è sempre un sottogruppo di $X$; in particolare contiene sempre l'elemento neutro di $X$. Nel caso in cui $X$ sia uno spazio vettoriale (che è un gruppo rispetto all'addizione) e $f$ sia una applicazione lineare (quindi un omomorfismo tra i rispettivi gruppi additivi), il nucleo $\ker (f)$ è un sottospazio vettoriale di $X$ (oltre ad esserne un sottogruppo).

Matrici

Template:Vedi anche Sia $A$ una matrice di tipo $m\times n$ con elementi in un campo $K$. Il nucleo di $A$ è l'insieme dei vettori $v$ in $K^n$ tali che:

$Av=0.$

Questa definizione è coerente con la precedente nel caso l'applicazione sia lineare:

$\begin{array}{cc}{L}_A:K^n& \to K^m\\ v& \mapsto Av\end{array}$

e il nucleo di $A$ così definito è il nucleo di $L_A$. In modo equivalente:

$\ker A:=\{v\in K^n:Av=0\}.$

Il nucleo di $A$ è un sottospazio vettoriale di $K^n$, la cui dimensione è chiamata la nullità di $A$.

Proprietà

Gruppi

Il nucleo di un omomorfismo di gruppi $f:G\to H$ è un sottogruppo normale. Il gruppo quoziente:

$G{/}_{\ker f}$

è quindi ben definito. Per il primo teorema di isomorfismo, questo gruppo è naturalmente isomorfo all'immagine di $f$.

D'altra parte, ogni sottogruppo normale $N$ di un gruppo $G$ è nucleo di una applicazione lineare. L'applicazione è la proiezione sul sottogruppo quoziente:

$\pi :G\to G/N.$

Iniettività

Sia $f$ un endomorfismo fra spazi vettoriali. La funzione $f$ è iniettiva se e solo se il suo nucleo è costituito soltanto dall'elemento neutro. L'ipotesi di linearità per $f$ è essenziale: poiché $f(0)=0$, l'iniettività di $f$ implica che il nucleo consiste del solo elemento neutro 0. L'implicazione opposta è però meno immediata. Si supponga per ipotesi che il nucleo di $f$ consista del solo elemento neutro 0, allora se:

$f(v)=f(w)$

per la linearità si ha:

$f(v)-f(w)=f(v-w)=0$

e quindi $v-w=0$ per ipotesi. In altre parole $v=w$, e la funzione è effettivamente iniettiva.

Teorema del rango

Template:Vedi anche Sia $f$ un'applicazione fra spazi vettoriali $f:V\to W$. Le dimensioni del nucleo e dell'immagine di $f$ sono collegate tramite la seguente uguaglianza:

$\dim V=\dim \ker f+\dim \mathrm{im}f.$

La nullità di una matrice $A$ può essere calcolata facendo uso del teorema del rango. In questo contesto la formula si traduce nel modo seguente:

$n=\mathrm{null}(A)+\mathrm{rk}(A).$

Nell'equazione, $n$ è il numero di colonne di $A$, $\mathrm{null}(A)$ è l'indice di nullità e $\mathrm{rk}(A)$ è il rango di $A$. Il calcolo della nullità si riduce quindi al calcolo del rango, per il quale esistono vari algoritmi. I metodi più noti fanno uso del determinante o dell'algoritmo di Gauss.

Teoria degli insiemi

Nell'ambito più generale di teoria degli insiemi, il nucleo di una funzione dall'insieme $X$ all'insieme $Y$ è definito alternativamente come la relazione d'equivalenza che lega gli elementi caratterizzati dalla stessa immagine o come la partizione che tale relazione genera in $X$.

Nei due casi, viene dunque definito simbolicamente da:

$\ker f:=\{(x,x^{\prime })\in X\times X:f(x)=f(x^{\prime })\}$

e da:

$\ker f:=\{\{w\in X:f(x)=f(w)\},x\in X\}.$

L'insieme quoziente $X/\ker (f)$, detto anche coimmagine di $f$, è naturalmente isomorfo all'immagine di $f$. La funzione risulta iniettiva se e solo se tale nucleo è la "diagonale" in $X\times X$. Immergendosi in morfismi tra strutture algebriche, la definizione risulta coerente con quella data sopra.

Esempi

Data la matrice:

$A=\left[\begin{array}{ccc}\sin (x)& -\cos (x)& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right]$

dove $x$ è un qualsiasi numero reale, il nucleo dell'applicazione lineare associata ad $A$ è l'insieme di vettori del tipo:

$\ker A=\{\left[\begin{array}{ccc}\lambda \cos (x)& \lambda \sin (x)& 0\end{array}\right]|\lambda \in ℝ\}$

come si vede facendo il prodotto matriciale tra $A$ e il vettore colonna $v_{\lambda }=(\lambda \cos (x),\lambda \sin (x),0{)}^T$.

Bibliografia

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Voci correlate

• Conucleo
• Dominio (matematica)
• Funzione iniettiva
• Immagine (matematica)
• Omomorfismo
• Rango di una matrice
• Teorema del rango
• Zero-insieme

Collegamenti esterni

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