Coordinate di un vettore

In matematica, in particolare in algebra lineare, l'insieme delle coordinate di un vettore rispetto ad una base di uno spazio vettoriale è il vettore che ha come componenti i coefficienti della combinazione lineare di vettori di base attraverso la quale si può scrivere il vettore stesso.

Definizione

Sia $V$ uno spazio vettoriale su un campo $K$. Sia l'insieme ${𝐯}_1,{𝐯}_2,\dots ,{𝐯}_n$ di elementi di $V$ una base ordinata di $V$. Allora ogni vettore $𝐰\in V$ si può scrivere in modo unico come combinazione lineare dei vettori di base:

$𝐰=\sum _{i=1}^n{a}_i{𝐯}_i$

Si definisce l'insieme delle coordinate di $𝐰$ rispetto alla base data il vettore:

$𝐚=(a_1,a_2,\cdots ,a_n)$

Si tratta del vettore che ha come componenti i coefficienti della combinazione lineare di vettori di base attraverso i quali si può scrivere $𝐰$, e dipende quindi dalla scelta della base stessa. Per specificare che $𝐰$ è scritto rispetto alla base $B$ si usa spesso la notazione $[𝐰{]}_B$.

La mappa ${\varphi }_B:V\to K^n$ che associa ad ogni vettore $𝐯\in V$ le sue coordinate ${\varphi }_B(𝐯)=[𝐯{]}_B$ rispetto a $B$ è un isomorfismo di spazi vettoriali, cioè un'applicazione lineare biettiva, la cui trasformazione inversa ${\varphi }_B^{-1}:K^n\to V$ è data da:

${\varphi }_B^{-1}(a_1,\dots ,a_n)=a_1{𝐯}_1+\cdots +a_n{𝐯}_n$

Questa funzione viene anche chiamata rappresentazione standard di $V$ rispetto a $B$.

Cambiamento di coordinate

Siano $B$ e $C$ due basi diverse di $V$. Siano ${𝐛}_1,{𝐛}_2,\dots ,{𝐛}_n$ i vettori che compongono la base $B$.

Si denoti con $[M{]}_C^B$ la matrice le cui colonne sono le coordinate dei vettori ${𝐛}_i$ rispetto ai vettori della base $C$:

$[M{]}_C^B=\left[\begin{array}{ccc}[{𝐛}_1{]}_C& \cdots & [{𝐛}_n{]}_C\end{array}\right]$

Tale matrice prende il nome di matrice di cambiamento di base da $B$ a $C$. Si ha allora:

$[𝐯{]}_C=[M{]}_C^B[𝐯{]}_B[𝐯{]}_B=([M{]}_C^B{)}^{-1}[𝐯{]}_C$

In particolare, la matrice $[M{]}_C^B$ è la matrice associata all'identità rispetto alle basi $B$ e $C$.

Bibliografia

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Voci correlate

• Base (algebra lineare)
• Combinazione lineare
• Covarianza e controvarianza
• Matrice di cambiamento di base
• Matrice di trasformazione
• Spazio vettoriale
• Vettore (matematica)

Collegamenti esterni

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