Linearità (matematica)

Template:NN In matematica, la linearità è una relazione che intercorre fra due o più enti matematici. Intuitivamente, due quantità sono in relazione lineare se tra loro sussiste una qualche forma di proporzionalità diretta.

Ad esempio, la legge $A = 2 B$ correla linearmente $A$ e $B$ : se $B$ raddoppia, anche $A$ raddoppia. Il significato esatto del termine "linearità" dipende tuttavia dal contesto in cui il termine viene adoperato.

Relazione lineare tra vettori

In algebra, n vettori $𝐯_{1}, 𝐯_{2}, \dots 𝐯_{n}$ appartenenti a uno spazio vettoriale definito sul corpo $𝒦$ sono linearmente dipendenti se intercorre tra di essi una relazione del tipo:

a_{1} 𝐯_{1} + a_{2} 𝐯_{2} + \dots + a_{n} 𝐯_{n} = 𝟎

dove $a_{1}, a_{2}, \dots, a_{n} \in 𝒦$ non sono tutti nulli.^[1] Se invece l'eguaglianza è soddisfatta solo per $a_{1} = \dots = a_{n} = 0$ i vettori sono linearmente indipendenti. Se un vettore $𝐯$ può essere scritto nel modo seguente:

𝐯 = a_{1} 𝐯_{1} + a_{2} 𝐯_{2} + \dots + a_{n} 𝐯_{n}

allora $𝐯$ è una combinazione lineare dei vettori $𝐯_{1}, 𝐯_{2}, \dots 𝐯_{n}$ . In particolare, lo spazio $ℒ (𝐯_{1}, \dots, 𝐯_{n})$ delle combinazioni lineari dei vettori $𝐯_{1}, \dots, 𝐯_{n}$ prende il nome di sottospazio generato da tali vettori, ed è un sottospazio vettoriale dello spazio di cui questi vettori fanno parte. È immediato dimostrare che un vettore $𝐯$ è combinazione lineare di $𝐯_{1}, \dots, 𝐯_{n}$ se e solo se i vettori $𝐯_{1}, \dots, 𝐯_{n}, 𝐯$ sono linearmente dipendenti.

Applicazioni lineari

Template:Vedi anche Un'applicazione $f : V \to W$ definita da un $𝒦$ -spazio vettoriale $V$ a un $𝒦$ -spazio $W$ è lineare se, per ogni coppia di elementi $x$ e $y$ appartenenti a $V$ su cui agisce la funzione e per ogni coppia di scalari $λ$ e $μ$ per cui tale funzione può essere moltiplicata, vale la relazione:

f (λ x + μ y) = λ f (x) + μ f (y)

In generale, un'applicazione che preservi le leggi di composizione tra due insiemi dotati della stessa struttura è detto omomorfismo. A seconda della struttura definita su tali insiemi si parla quindi di omomorfismo di gruppi, di anelli, di spazi vettoriali e di algebre.

Una funzione in $n$ variabili $f : V_{1} \times \dots \times V_{n} \to W$ (dove i $V_{i}$ sono $𝒦$ -spazi vettoriali) che sia lineare in tutte le sue variabili:

f (𝐱 + 𝐲) = f (𝐱) + f (𝐲) \forall 𝐱, 𝐲 \in V_{1} \times \dots \times V_{n}

f (a_{1} x_{1}, \dots, a_{n} x_{n}) = a_{1} \dots a_{n} f (x_{1}, \dots, x_{n}) \forall a_{1}, \dots a_{n} \in 𝒦

è detta multilineare. Ad esempio, il prodotto scalare euclideo è una forma bilineare.

Equazioni lineari

Equazioni algebriche

Template:Vedi anche Un'equazione algebrica in n incognite $x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n}$ si dice lineare se è della forma:

a_{1} x_{1} + a_{2} x_{2} + \dots + a_{n} x_{n} - b = 0

dove i coefficienti (costanti) $a_{i}$ non sono tutti nulli. Equivalentemente, un'equazione algebrica nell'incognita $𝐱 = (x_{1}, \dots, x_{n})^{T}$ è lineare se esistono un vettore $𝐚 = (a_{1}, \dots, a_{n})^{T} \in 𝒦^{n}$ , dove $𝒦$ è un campo, e un elemento $b \in 𝒦$ per cui si può scrivere:

𝐚 \cdot 𝐱 = b

Il simbolo $\cdot$ denota il prodotto scalare ordinario definito sullo spazio $𝒦^{n}$ .

Un'equazione lineare può ammettere o meno soluzioni a seconda del campo a cui si richiede appartengano le componenti di $𝐱$ . Un'equazione lineare ammette sempre soluzioni nel campo razionale se sono razionali i coefficienti $a_{1}, \dots, a_{n}, b$ , o nel campo reale se i coefficienti sono reali. Queste soluzioni si ottengono ponendo a parametro tutte le incognite tranne quella rispetto alla quale si risolve. Ad esempio, se $a_{1} \neq 0$ l'equazione di cui sopra ammette l'insieme di soluzioni:

{\begin{matrix} x_{1} = - \frac{1}{a_{1}} (a_{2} t_{2} + \dots + a_{n} t_{n} + b) \\ x_{2} = t_{2} \\ ⋮ \\ x_{n} = t_{n} \end{matrix}

dove si sono definiti i parametri liberi $t_{i} = x_{i}$ .

Sistemi di equazioni

Template:Vedi anche Un sistema lineare di equazioni algebriche è una collezione di m equazioni lineari, ciascuna nelle n incognite $x_{1}, \dots, x_{n}$ , le cui soluzioni sono soluzioni di tutte le equazioni del sistema. Equivalentemente, l'insieme delle soluzioni del sistema è l'intersezione degli insiemi di soluzioni di tutte le equazioni. A ogni sistema lineare può essere associata una matrice $A$ di dimensione $m \times n$ , il cui elemento $a_{i j}$ rappresenta il coefficiente dell'i-esima equazione nella j-esima incognita. Se allora $𝐱$ è l'n-vettore che ha per componenti le incognite, e $𝐛$ è l'm-vettore dei termini noti, l'intero sistema si può scrivere:

A 𝐱 = 𝐛

che equivale a:

{\begin{matrix} a_{1, 1} x_{1} + a_{1, 2} x_{2} + \dots + a_{1, n} x_{n} & = & b_{1} \\ a_{2, 1} x_{1} + a_{2, 2} x_{2} + \dots + a_{2, n} x_{n} & = & b_{2} \\ ⋮ \\ a_{m, 1} x_{1} + a_{m, 2} x_{2} + \dots + a_{m, n} x_{n} & = & b_{m} \end{matrix}

Un sistema del genere può essere impossibile se non ammette soluzioni, determinato se ammette una e una sola soluzione e indeterminato se ammette più di una soluzione. Se il campo $𝒦$ in cui si stanno cercando le incognite ha cardinalità infinita, un sistema indeterminato ammette infinite soluzioni: questo perché l'insieme delle soluzioni di un sistema lineare è un sottospazio affine di $𝒦$ . Più precisamente:

S o l (A 𝐱 = 𝐛) = S o l (A 𝐱 = 𝟎) + 𝐛

in particolare, lo spazio $S o l (A 𝐱 = 𝟎)$ delle soluzioni del sistema omogeneo associato è uno spazio vettoriale, poiché:

A 𝐱 = 𝟎 e A 𝐲 = 𝟎 \Rightarrow A (λ 𝐱 + μ 𝐲) = 𝟎 \forall λ, μ \in 𝒦

Esiste un teorema che mette in relazione il rango della matrice $A$ con la risolubilità del sistema.

Equazioni differenziali

Template:Vedi anche Un'equazione differenziale ordinaria è lineare se è della forma:

a_{n} (x) y^{(n)} (x) + \dots + a_{1} (x) y^{'} (x) + a_{0} (x) y (x) = f (x)

con qualche $a_{i} \neq 0$ .

In questo caso, la linearità dell'equazione si esprime nel fatto che le varie derivate di $y$ compaiono tutte al primo grado (o a grado zero). La dicitura "lineare" è motivata dal fatto che l'operatore:

𝔏 : y \mapsto a_{n} (x) y^{(n)} + \dots + a_{1} (x) y^{'} + a_{0} (x) y

è lineare, cioè se $y_{1}$ è soluzione di $𝔏 (y) = f_{1} (x)$ e $y_{2}$ è soluzione di $𝔏 (y) = f_{2} (x)$ allora $(y_{1} + y_{2})$ è soluzione di $𝔏 (y) = f_{1} (x) + f_{2} (x)$ . In altri termini, vale la relazione:

𝔏 (a y_{1} + b y_{2}) = a 𝔏 (y_{1}) + b 𝔏 (y_{2}) \forall a, b \in ℝ

Luoghi geometrici

La rappresentazione cartesiana di un'equazione lineare in n incognite è un iperpiano n-1-dimensionale immerso nell'n-spazio. Ad esempio, l'equazione:

3 x + 8 y - 2 = 0

individua una retta sul piano (x,y), mentre all'equazione:

x + 2 y - z + 1 = 0

corrisponde un piano nello spazio (x,y,z). Queste equazioni sono dette in forma implicita, laddove le corrispettive forme esplicite sarebbero:

y = - \frac{3}{8} x + \frac{1}{4}

rispetto alla coordinata y, e:

z = x + 2 y + 1

rispetto alla coordinata z.

Note

↑ Il vettore nullo $𝟎$ è linearmente dipendente, poiché vale la relazione $λ 𝟎 = 𝟎$ .

Bibliografia

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Template:En Arfken, G. "A Second Solution." §8.6 in Mathematical Methods for Physicists, 3rd ed. Orlando, FL: Academic Press, pp. 467-480, 1985.

Voci correlate

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cs:Lineární

[1] Il vettore nullo $𝟎$ è linearmente dipendente, poiché vale la relazione $λ 𝟎 = 𝟎$ .

[1]

Linearità (matematica)

Indice

Relazione lineare tra vettori

Applicazioni lineari

Equazioni lineari

Equazioni algebriche

Sistemi di equazioni

Equazioni differenziali

Luoghi geometrici

Note

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