Funzionale lineare

In matematica, e più precisamente in algebra lineare, un funzionale lineare o forma lineare è un'applicazione lineare da uno spazio vettoriale nel suo campo di scalari. Può trattarsi di un funzionale inteso come funzione che ha per argomento un'altra funzione, ma non è necessariamente definito sempre così. Il termine "funzionale lineare" è usato specialmente in analisi funzionale, mentre "forma lineare" è più usato in geometria, dove una forma lineare è un particolare esempio di forma multilineare.

L'insieme dei funzionali lineari agenti su uno spazio vettoriale $V$ forma a sua volta uno spazio vettoriale, lo spazio duale $\tilde{V}$ (spesso denotato anche con $V^{*}$ o $V^{\prime }$).

In ${ℝ}^n$, se i vettori sono rappresentati come vettori colonna, i funzionali lineari sono vettori riga, che agiscono sui vettori colonna per mezzo di un prodotto scalare (in generale, una forma sesquilineare) o un prodotto matriciale (tra un vettore riga a sinistra e un vettore colonna a destra). Ad esempio, dati i vettori colonna:

$𝐱=\left[\begin{array}{c}{x}_1\\ ⋮\\ x_n\end{array}\right]\in {ℝ}^n$

allora ogni funzionale lineare $f$ può essere scritto in tali coordinate come una somma del tipo:

$f(𝐱)=a_1{x}_1+\cdots +a_n{x}_n$

Si tratta del prodotto matriciale tra il vettore riga $[a_1\dots a_n]$ e il vettore colonna $𝐱$:

$f(𝐱)=[a_1\dots a_n]\left[\begin{array}{c}{x}_1\\ ⋮\\ x_n\end{array}\right]$

I funzionali lineari sono stati inizialmente introdotti nell'ambito dell'analisi funzionale, in particolare nello studio degli spazi funzionali vettoriali. Un tipico esempio di funzionale lineare è l'operatore integrale di Riemann:

$I(f)=\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)dx$

che è definito sullo spazio vettoriale $C[a,b]$ delle funzioni continue sull'intervallo $[a,b]$ e mappa nel campo dei reali $ℝ$. La linearità si vede da note proprietà degli integrali:

$I(f+g)=\underset{a}{\overset{b}{\int }}(f(x)+g(x))dx=\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)dx+\underset{a}{\overset{b}{\int }}g(x)dx=I(f)+I(g)$

$I(\alpha f)=\underset{a}{\overset{b}{\int }}\alpha f(x)dx=\alpha \underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)dx=\alpha I(f)$

I funzionali lineari sono molto utilizzati in fisica.

Definizione

Sia $V$ uno spazio vettoriale su un campo $K$. Un funzionale lineare $f$ è una funzione lineare da $V$ a $K$. Valgono quindi le seguenti relazioni:

$f(𝐯+𝐰)=f(𝐯)+f(𝐰)\mathrm{\forall }𝐯,𝐰\in V$

$f(a𝐯)=af(𝐯)\mathrm{\forall }𝐯\in V,\mathrm{\forall }a\in K$

Date due funzioni misurabili a valori positivi $f\in L^p(ℝ)$ e $g\in L^{p^{\prime }}(ℝ)$, con $p^{-1}+p{\text{'}}^{-1}=1$, per la disuguaglianza di Hölder si ha che $fg\in L^1(ℝ)$. Considerando la funzione $g$, è quindi possibile definire:

$G(f)=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\overline{f}gdx$

per ogni $f\in L^p(ℝ)$. L'operatore $G$ è allora un operatore limitato, la cui norma non è maggiore della q-norma di $g$. Ogni funzionale limitato di $L^p(ℝ)$ può essere scritto in tal modo per un qualche $g\in L^{p^{\prime }}(ℝ)$.

L'insieme di tutti i funzionali lineari da $V$ in $K$, essendo chiuso rispetto alle operazioni di somma e prodotto per scalare, forma uno spazio vettoriale $\tilde{V}$, lo spazio duale di $V$. Se $V$ ha dimensione $n$, allora anche $\tilde{V}$ ha dimensione $n$. La mappa che associa ad ogni $g\in L^{p^{\prime }}$ il corrispondente funzionale lineare $G$ definito su $L^p$ è un isomorfismo isometrico di $L^{p^{\prime }}$ nel duale di $L^p$.

Se $V$ è uno spazio vettoriale sui numeri reali o complessi, ed è dotato di una topologia che lo rende uno spazio vettoriale topologico, risultano particolarmente interessanti i funzionali lineari continui, che formano un sottospazio dello spazio duale detto spazio duale continuo o anche duale topologico. Per distinguerlo dal duale continuo, il generico spazio duale è talvolta detto spazio duale algebrico. In dimensione finita, comunque, il duale algebrico e il duale continuo coincidono poiché ogni funzionale lineare è un operatore lineare continuo. In generale il duale continuo è un sottospazio del duale algebrico. Si usa spesso denotare con $V^{*}$ il duale algebrico e con $V^{\prime }$ il duale continuo, sebbene la notazione sia varia a seconda degli autori.

Si definisce un funzionale lineare positivo un funzionale $G$ tale che $G(f)\ge 0$ per ogni $f$ puntualmente positiva. Si dimostra che ogni funzionale lineare positivo è continuo.

Esempi

• La funzione $f:{ℝ}^n\to ℝ$ data da:

$(x_1,\dots ,x_n)\mapsto x_1$

è un funzionale lineare che associa ad ogni vettore dello spazio euclideo la sua prima coordinata.

• Il funzionale:

$f\mapsto \underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)dx$

associa ad una funzione integrabile $f$, definita sull'intervallo $[a,b]$ ed a valori nei numeri reali o complessi, l'integrale di $f$ tra i due estremi. Qui lo spazio vettoriale $V$ può essere ad esempio quello delle funzioni continue sull'intervallo, oppure quello più grande delle funzioni integrabili. In entrambi i casi $V$ ha dimensione infinita.

• Sia $P_n$ lo spazio vettoriale delle funzioni polinomiali a valori reali di grado inferiore a n definite su $[a,b]$. Se $c\in [a,b]$, sia $e{v}_c:P_n\to ℝ$ il funzionale di valutazione:

${\mathrm{ev}}_{c}f=f(c)$

La mappa $f\to f(c)$ è lineare dal momento che:

$(f+g)(c)=f(c)+g(c)$

$(\alpha f)(c)=\alpha f(c)$

Se $x_0,\dots ,x_n$ sono n+1 punti distinti di $[a,b]$ allora l'insieme dei funzionali $e{v}_{x_i}$ forma una base dello spazio duale di $P_n$.

• Nella teoria delle distribuzioni, le distribuzioni sono definite come funzionali lineari che agiscono su spazi di funzioni di test. In tale contesto, un analogo al funzionale nell'esempio precedente è la delta di Dirac.

Basi in dimensione finita

Sia ${𝐞}_1,{𝐞}_2,\dots ,{𝐞}_n$ una base (qualsiasi) dello spazio vettoriale $V$. Lo spazio duale $\tilde{V}$ possiede allora una base ${\tilde{\omega }}^1,{\tilde{\omega }}^2,\dots ,{\tilde{\omega }}^n$, detta base duale, definita dalla proprietà:

${\tilde{\omega }}^i({𝐞}_j)=\{\begin{array}{cc}1& \text{se }i=j,\\ 0& \text{se }i\ne j.\end{array}$

In modo più compatto si può scrivere anche:

${\tilde{\omega }}^i({𝐞}_j)={\delta }_j^i$

dove ${\delta }_j^i$ è il delta di Kronecker, ed apici e pedici denotano la covarianza e controvarianza degli indici utilizzati.

Un funzionale lineare $\tilde{u}\in \tilde{V}$ può essere espresso come combinazione lineare di funzionali di base, con coefficienti $u_i$:

$\tilde{u}=\sum _{i=1}^n{u}_i{\tilde{\omega }}^i$

Allora, applicando il funzionale $\tilde{u}$ al vettore di base ${𝐞}_j$ si ottiene:

$\tilde{u}({𝐞}_j)=\sum _{i=1}^n(u_i{\tilde{\omega }}^i){𝐞}_j=\sum _i{u}_i({\tilde{\omega }}^i({𝐞}_j))=\sum _i{u}_i{\delta }^i{}_j=u_j$

Questa relazione mostra come si può estrarre una singola componente di un funzionale lineare applicando il funzionale al corrispondente vettore di base.

Se $V$ possiede un prodotto interno, allora si può scrivere esplicitamente una formula per la base duale di una base data. Se ${𝐞}_1,{𝐞}_2,{𝐞}_3$ è una base di $V$, la base duale è:

${\tilde{\omega }}^i(𝐯)=\frac{1}{2}⟨\frac{\sum _{j=1}^3\sum _{k=1}^3{\epsilon }^{ijk}({𝐞}_j\times {𝐞}_k)}{{𝐞}_1\cdot {𝐞}_2\times {𝐞}_3},𝐯⟩i=1,2,3$

dove ${\epsilon }^{ijk}$ è il simbolo di Levi-Civita e $⟨,⟩$ il prodotto interno su $V$.

In dimensione maggiore:

${\tilde{\omega }}^i(𝐯)=⟨\frac{\sum _{{}^{1\le i_2<i_3<\dots <i_n\le n}}{\epsilon }^{i{i}_2\dots i_n}(\star {𝐞}_{i_2}\wedge \dots \wedge {𝐞}_{i_n})}{\star ({𝐞}_1\wedge \dots \wedge {𝐞}_n)},𝐯⟩$

dove $\star$ è l'operatore star di Hodge.

Bibliografia

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Voci correlate

• Distribuzione (matematica)
• Forma bilineare
• Forma multilineare
• Funzionale
• Operatore (matematica)
• Spazio di Hilbert
• Spazio duale
• Teorema di rappresentazione di Riesz

Collegamenti esterni

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