Superficie di Veronese

Template:F In matematica, la superficie di Veronese è una superficie algebrica in uno spazio proiettivo a $5$ dimensioni. Fu scoperta da Giuseppe Veronese (1854-1917), dal quale prende nome.

La superficie di Veronese ammette una immersione in uno spazio proiettivo a quattro dimensioni, costruito dalla proiezione di un punto generico dello spazio $5$-dimensionale. La sua proiezione in uno spazio proiettivo tridimensionale è nota come superficie di Steiner.

A sua volta, la superficie di Veronese è l'unico caso di una varietà di Scorza-Severi di dimensione $n=2$.

Definizione

La mappa di Veronese è una funzione fra spazi proiettivi di dimensione $2$ e $5$, definita nel modo seguente:

$\nu :{\mathbb{P}}^2\to {\mathbb{P}}^5$

$[x:y:z]\mapsto [x^2:y^2:z^2:yz:xz:xy]$

dove $[x:\dots ]$ denota le coordinate omogenee.

La superficie di Veronese è l'immagine della mappa di Veronese.

Sottovarietà

L'immagine di una varietà posta sotto una mappatura di Veronese è di nuovo una varietà; di più, ci si trova davanti ad un isomorfismo poiché esiste anche la mappatura inversa, ed è regolare. Più precisamente, le immagini di insiemi aperti in una topologia di Zariski sono ancora degli insiemi aperti. Questo serve a dimostrare che una varietà algebrica è l'intersezione di una varietà di Veronese e di uno spazio lineare, e che perciò ogni varietà algebrica è isomorfa ad un'intersezione di quadriche.

Regolarità

L'immagine dell'immersione di una superficie di Veronese, è una varietà proiettiva. L'immersione di una superficie di Veronese è un morfismo, cioè una varietà con proprietà determinate di regolarità nella geometria algebrica.

Se $Y\subset P^n$ è una varietà proiettiva, allora lo è anche ${\nu }_d(Y)\subset P^N$.

Mappa di Veronese di grado d

La mappa di Veronese di grado $d$ o varietà di Veronese generalizza l'idea di una mappatura di grado $d$ in $n+1$ variabili. In altre parole, la mappa di Veronese di grado $d$ è la mappa

${\nu }_d:{\mathbb{P}}^n\to {\mathbb{P}}^m,$

dove $m$ è definito come:

$m=(\genfrac{}{}{0ex}{}{n+d}{d})-1=\frac{1}{n!}(d+1{)}^{(n)}-1,$

dove $(\genfrac{}{}{0ex}{}{n+d}{d})$ indica il coefficiente binomiale, e $(d+1{)}^{(n)}$ indica il fattoriale crescente.

Esempi

Se $n=1$ si ha:

${\nu }_d([x_0:x_1])=[x_0^d:x_0^{d-1}{x}_1:x_0^{d-2}{x}_1^2:\dots :x_1^d].$

Se $d=2$ si ha:

${\nu }_2([x_0:\dots :x_n])=[x_0^2:x_0{x}_1:\dots :x_0{x}_n:x_1^2:\dots :x_1{x}_n:\dots :x_n^2].$

Curva razionale normale

Per $n=1,$, la varietà di Veronese è nota come curva razionale normale, della quale sono famigliari gli esempi di grado minore:

• per $n=1,d=1$, la mappa di Veronese è semplicemente l'identità lungo la retta proiettiva;
• per $n=1,d=2,$ la varietà di Veronese è la comune parabola $[x^2:xy:y^2],$ nelle coordinate affini $(x,x^2).$
• per $n=1,d=3,$ la varietà di Veronese è una twisted cubic (funzione cubica e curva algebrica liscia $C$ di grado $3$ nello spazio proiettivo tridimensionale ${\mathbb{P}}^3$) $[x^3:x^{2}y:x{y}^2:y^3],$ nelle coordinate affini $(x,x^2,x^3).$

Collegamenti esterni

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