Teoria delle categorie

La teoria delle categorie è una teoria matematica che studia in modo astratto le strutture matematiche e le relazioni tra esse. La nozione di categoria fu introdotta per la prima volta da Samuel Eilenberg e Saunders Mac Lane nel 1945 nell'ambito della topologia algebrica. Le categorie ora appaiono in molte discipline della matematica e in alcune aree dell'informatica teorica e della fisica matematica costituendo una nozione unificante. Informalmente, una categoria è costituita da determinate strutture matematiche e dalle mappe tra esse che ne conservano le operazioni.

Categorie

Definizione

Una categoria $𝒞$ consiste di quanto segue.

• Una classe $\text{ob}(𝒞)$ i cui elementi sono chiamati oggetti.
• Una classe $\text{mor}(𝒞)$ i cui elementi sono chiamati morfismi, mappe o frecce. Ogni morfismo ha associati un unico oggetto sorgente $a$ e un unico oggetto destinazione $b$ in $\text{ob}(𝒞)$. La scrittura $f:a\to b$ indica che $f$ è un morfismo con sorgente $a$ e destinazione $b$. La classe dei morfismi da $a$ a $b$ è indicata con $\text{mor}(a,b)$.
• Per ogni terna di oggetti $a$, $b$ e $c$ di $𝒞$, è definita una funzione $\text{mor}(b,c)\times \text{mor}(a,b)\to \text{mor}(a,c)$, chiamata composizione di morfismi. La composizione di $f:b\to c$ con $g:a\to b$ si indica con $f\circ g:a\to c$ (talvolta si indica semplicemente $fg$).

La composizione deve soddisfare i seguenti assiomi:

• (associatività) se $f:a\to b$, $g:b\to c$ e $h:c\to d$, allora $h\circ (g\circ f)=(h\circ g)\circ f$
• (identità) per ogni oggetto $x$ esiste un morfismo ${\text{id}}_x:x\to x$, chiamato morfismo identità su $x$, tale che per ogni morfismo $f:a\to x$ vale ${\text{id}}_x\circ f=f$ e per ogni morfismo $g:x\to b$ si ha $g\circ {\text{id}}_x=g$.

Dagli assiomi si deduce che ad ogni oggetto è associato un unico morfismo identità. Questo permette di dare una definizione diversa di categoria, data dalla sola classe dei morfismi: gli oggetti vengono identificati a posteriori con i corrispondenti morfismi identità.

Una categoria si dice piccola se la classe dei morfismi (e quindi quella degli insiemi, in corrispondenza biunivoca coi morfismi identità come detto sopra) è un Insieme e grande altrimenti, ovvero se i morfismi formano una classe propria. Se per ogni coppia di oggetti $a,b$ in una categoria la classe dei morfismi $\text{mor}(a,b)$ tra di essi è un insieme, la categoria si dice localmente piccola (in particolare, ogni categoria piccola è localmente piccola). Molte importanti categorie sono grandi ma localmente piccole, come ad esempio la categoria degli insiemi e le funzioni tra di essi.

Esempi

Negli esempi le categorie sono indicate tramite i loro oggetti e i corrispondenti morfismi.

• Come sopra, gli insiemi e le funzioni tra essi
• I monoidi e gli omomorfismi tra essi
• I gruppi coi loro omomorfismi
• Gli spazi vettoriali e le funzioni lineari
• Gli spazi topologici e le funzioni continue
• Gli spazi misurabili e le funzioni misurabili
• Le varietà differenziabili e le funzioni differenziabili

• Ogni monoide forma una categoria piccola con un singolo oggetto $X$ (il monoide stesso) avendo come morfismi le traslazioni associate agli elementi del monoide. (L'azione di un elemento di X su un qualunque altro elemento è definita dall'operazione binaria del monoide).
• Se I è un insieme, la categoria discreta su I è la categoria piccola che ha come oggetti gli elementi di I e come morfismi solo i morfismi identità.
• Da ogni categoria C si può definire una nuova categoria, la categoria duale $C^{*}$ che ha per oggetti gli stessi oggetti di C, ma che inverte la direzione dei morfismi (l'insieme $Mor(A,B)$ diventa l'insieme $Mor(B,A)$).
• Se (C,o') e (D,o") sono categorie, si può definire la categoria prodotto, i cui oggetti sono coppie (c,d) aventi per primo elemento un oggetto di C e per secondo un oggetto di D, i morfismi sono analoghe coppie di morfismi; la composizione viene definita componente per componente: $(c_1,d_1)\circ (c_2,d_2):=(c_1{\circ }^{\prime }{c}_2,d_1{\circ }^{″}{d}_2)$.

Sebbene esistano dei "morfismi" tra le categorie (i funtori) non è possibile definire la "categoria delle categorie", in quanto le categorie che sono classi proprie non possono appartenere ad altre classi (per definizione). È possibile invece parlare della categoria delle categorie piccole, le quali, essendo insiemi, possono appartenere a una classe e quindi essere oggetti di una categoria.

Tipi di morfismi

Un morfismo f: A → B si chiama

• monomorfismo se $f{g}_1=f{g}_2\Rightarrow g_1=g_2$ per tutti i morfismi $g_1,g_2:X\to A$.
• epimorfismo se g₁f = g₂f implica g₁ = g₂ per tutti i morfismi g₁, g₂ : B → X.
• isomorfismo se esiste un morfismo g : B → A con fg = id_B e gf = id_A.
• endomorfismo se A = B.
• automorfismo se f è insieme un endomorfismo e un isomorfismo.

Funtori

Template:Vedi anche I funtori sono mappe tra le categorie che ne conservano le strutture.

Un funtore covariante dalla categoria C alla categoria D è una mappa che associa:

• ad ogni oggetto X in C un oggetto F(X) in D
• ad ogni morfismo f:X→Y un morfismo F(f):F(X)→F(Y)

in modo tale che valgano le seguenti proprietà:

• F(id_X) = id_F(X) per ogni oggetto X in C.
• F(g $\circ$ f) = F(g) $\circ$ F(f) per tutti i morfismi f : X → Y e g : Y → Z.

Un funtore contravariante è definito in maniera analoga, ma inverte i morfismi, cioè se f:X→ Y, allora F(f):F(Y)→ F(X). Dato un funtore covariante da C a D, il corrispondente funtore da C^* a D è contravariante.

Trasformazioni e Isomorfismi naturali

Due funtori F, G : C → D ci danno due rappresentazioni di C in D. Una trasformazione naturale è una associazione che permette di "tradurre" l'immagine che ne dà F in quella che ne dà G.

Se F e G sono funtori (covarianti) tra le categorie C e D, allora una trasformazione naturale da F a G associa a ogni oggetto X di C un morfismo η_X : F(X) → G(X) in D tale che per ogni morfismo f : X → Y in C abbiamo η_Y

${}_{\circ }$

F(f) = G(f)

${}_{\circ }$

η_X; vale a dire che η rende commutativo il diagramma

Commutative diagram defining natural transformations

I due funtori F e G si dicono naturalmente isomorfi se esiste una trasformazione naturale da F a G tale che η_X sia un isomorfismo tra oggetti in D per ogni oggetto X in C.

Bibliografia

• Template:En Jiří Adámek, Horst Herrlich, George E. Strecker (1990): Abstract and Concrete Categories Template:Webarchive, John Wiley & Sons ISBN 0-471-60922-6
• Template:En Francis Borceux (1994): Handbook of Categorical Algebra I. Basic Category Theory, Cambridge University Press, ISBN 0-521-44178-1
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• William Lawvere, Steve Schanuel (1994): Teoria delle categorie: un'introduzione alla matematica, Franco Muzzio
• Template:En William Lawvere, Steve Schanuel (1997): Conceptual Mathematics: A First Introduction to Categories, Cambridge University Press
• Template:En Saunders Mac Lane (1998): Categories for the Working Mathematician (seconda edizione), Springer ISBN 0-387-98403-8
• Template:En Michael Barr, Charles Wells (2002): Toposes, Triples and Theories

Voci correlate

• Progetto:Matematica/Elenco di voci sulla teoria delle categorie
• Funtore (matematica)
• Diagramma commutativo
• Gruppoide (teoria delle categorie)
• Categoria monoidale
• Categoria abeliana
• Lemma di Yoneda

Collegamenti esterni

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