Immersione (geometria)

In geometria, una immersione è una funzione differenziabile fra varietà differenziabili, il cui differenziale è ovunque iniettivo.

Le immersioni non sono necessariamente iniettive globalmente, ma lo sono localmente. La nozione di immersione è duale a quella di Sommersione.

Definizione

Una funzione differenziabile

$f:M\to N$

fra due varietà differenziabili è una immersione se il differenziale

$d_{p}f:T_{p}M\to T_{f(p)}N$

è iniettivo per ogni punto $p$ di $M$. Equivalentemente, se il rango del differenziale è ovunque pari alla dimensione di $M$

$\mathrm{rank}f=\dim M.$

L'equivalenza fra le due definizioni è garantita dal teorema della dimensione.

Le varietà differenziabili $M$ e $N$ possono essere ad esempio degli aperti contenuti in spazi euclidei ${ℝ}^k$ e ${ℝ}^n$.

Iniettività

Una immersione $f$ non è necessariamente iniettiva. Lo è però localmente, grazie ad una versione del teorema di invertibilità locale: ogni punto $p$ di $M$ ha un intorno $U$ su cui la funzione è iniettiva.

Bibliografia

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Voci correlate

• Immersione (matematica)
• Sommersione