Fattoriale crescente

In matematica, per fattoriale crescente o decrescente di $x$ con $n$ fattori si intende, rispettivamente un prodotto della forma

$x(x+1)(x+2)\cdots (x+k-1)=\prod _{j=0}^{k-1}(x+j)$ ($k$ fattori crescenti inizianti da $x$);

$x(x-1)(x-2)\cdots (x-k+1)=\prod _{j=0}^{k-1}(x-j)$ ($k$ fattori decrescenti inizianti da $x$).

Qui $k$ denota un intero naturale, mentre $x$ può denotare un numero reale o complesso, oppure una variabile formale o anche un elemento generico di un anello (in tal caso gli interi si identificano con i multipli dell'elemento unità dell'anello).

Simboli

Utilizzando una delle notazioni utilizzata abbiamo:

$x^{\bar{k}}:=x(x+1)(x+2)\cdots (x+k-1),$ fattoriale crescente;

$x^{\underset{\_}{k}}:=x(x-1)(x-2)\cdots (x-k+1),$ fattoriale decrescente.

Esistono anche notazioni alternative da utilizzare con cautela perché diversamente interpretate da diversi autori come la notazione $(x{)}_n$ detta simbolo di Pochhammer usata da alcuni per il fattoriale decrescente da altri per quello crescente.

Casi particolari

Per $k=0$ fattoriale crescente e fattoriale decrescente danno il prodotto vuoto, cioè

$x^{\bar{0}}=x^{\underset{\_}{0}}=1.$

Collegamenti con calcolo combinatorio

Nel caso $x=n$ numero intero non negativo, con riferimento a simboli comunemente usati nel calcolo combinatorio, si ha:

$n^{\bar{k}}=\frac{(n+k-1)!}{(n-1)!}=D_{n+k-1,k}$ (disposizioni senza ripetizione);

$n^{\underset{\_}{k}}=\frac{n!}{(n-k+1)!}=D_{n,k}$ (disposizioni senza ripetizione);

$C_{n,k}=\frac{n^{\underset{\_}{k}}}{k!}$ (combinazioni senza ripetizioni);

$C{\text{'}}_{n,k}=\frac{n^{\bar{k}}}{k!}$ (combinazioni con ripetizioni).

Dai polinomi alle matrici di Stirling

Iniziando dai polinomi di primo grado i primi cinque casi del fattoriale decrescente sono:

$x^{\underset{\_}{1}}=x;$

$x^{\underset{\_}{2}}=x(x-1)=x^2-x;$

$x^{\underset{\_}{3}}=x(x-1)(x-2)=x^3-3x^2+2x;$

$x^{\underset{\_}{4}}=x(x-1)(x-2)(x-3)=x^4-6x^3+11x^2-6x;$

$x^{\underset{\_}{5}}=x(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)=x^5-10x^4+35x^3-50x+24.$

I primi cinque di quello crescente sono:

$x^{\bar{1}}=x;$

$x^{\bar{2}}=x(x+1)=x^2+x;$

$x^{\bar{3}}=x(x+1)(x+2)=x^3+3x^2+2x;$

$x^{\bar{4}}=x(x+1)(x+2)(x+3)=x^4+6x^3+11x^2+6x;$

$x^{\bar{5}}=x(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)=x^5+10x^4+35x^3+50x+24.$

Utilizzando vettori e matrici possiamo esprimere i due casi precedenti scrivendo:

$\left(\begin{array}{c}{x}^{\underset{\_}{1}}\\ x^{\underset{\_}{2}}\\ x^{\underset{\_}{3}}\\ x^{\underset{\_}{4}}\\ x^{\underset{\_}{5}}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccccc}1& 0& 0& 0& 0\\ -1& 1& 0& 0& 0\\ 2& -3& 1& 0& 0\\ -6& 11& -6& 1& 0\\ 24& -50& 35& -10& 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}x\\ x^2\\ x^3\\ x^4\\ x^5\end{array}\right)$

$\left(\begin{array}{c}{x}^{\bar{1}}\\ x^{\bar{2}}\\ x^{\bar{3}}\\ x^{\bar{4}}\\ x^{\bar{5}}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccccc}1& 0& 0& 0& 0\\ 1& 1& 0& 0& 0\\ 2& 3& 1& 0& 0\\ 6& 11& 6& 1& 0\\ 24& 50& 35& 10& 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}x\\ x^2\\ x^3\\ x^4\\ x^5\end{array}\right).$

Esplicitando il secondo vettore attraverso le matrici inverse si ottiene:

$\left(\begin{array}{c}x\\ x^2\\ x^3\\ x^4\\ x^5\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccccc}1& 0& 0& 0& 0\\ 1& 1& 0& 0& 0\\ 1& 3& 1& 0& 0\\ 1& 7& 6& 1& 0\\ 1& 15& 25& 10& 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}{x}^{\underset{\_}{1}}\\ x^{\underset{\_}{2}}\\ x^{\underset{\_}{3}}\\ x^{\underset{\_}{4}}\\ x^{\underset{\_}{5}}\end{array}\right)$

$\left(\begin{array}{c}x\\ x^2\\ x^3\\ x^4\\ x^5\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccccc}1& 0& 0& 0& 0\\ -1& 1& 0& 0& 0\\ 1& -3& 1& 0& 0\\ -1& 7& -6& 1& 0\\ 1& -15& 25& -10& 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}{x}^{\bar{1}}\\ x^{\bar{2}}\\ x^{\bar{3}}\\ x^{\bar{4}}\\ x^{\bar{5}}\end{array}\right).$

Le matrici dell'esempio, facilmente generalizzabile ad un qualsiasi numero di polinomi, contengono i numeri di Stirling di prima e seconda specie, alternati e no. Gli elementi di questi quattro triangoli di Stirling si possono ottenere con regole ricorsive simili a quella di Stiffel relativa al triangolo di Tartaglia

Collegamento con il calcolo umbrale

I fattoriali crescenti e i fattoriali decrescenti possono essere interpretati come polinomi nella variabile $x$ e le due successioni $x^{\bar{n}},$ per $n=0,1,2,\dots ,$ e $x^{\underset{\_}{n}},$ per $n=0,1,2,\dots ,$ come successioni di polinomi. Questi hanno ruoli particolari nelle formule che riguardano l'azione sui polinomi di operatori come l'operatore alle differenze in avanti $\mathrm{\Delta }$, formule corrispondenti al teorema di Taylor del calcolo infinitesimale indotta dall'azione dell'operatore derivazione. In queste formule e in molte altre circostanze i fattoriali crescenti e i decrescenti nel calcolo delle differenze finite giocano il ruolo che i polinomi $x^n$ giocano nel calcolo differenziale. Si osservi ad esempio la somiglianza fra la

$\mathrm{\Delta }{x}^{\underset{\_}{k}}=k{x}^{\underset{\_}{k-1}},$

e la

$D{x}^k=k{x}^{k-1},$

dove $D$ denota la derivata rispetto alla variabile $x$. La teoria che consente di trattare sistematicamente e rigorosamente queste somiglianze è l'odierno calcolo umbrale. Più specificamente le teorie che riguardano relazioni di questo genere coinvolgenti polinomi come i fattoriali crescenti e i decrescenti sono la teoria delle sequenze polinomiali di tipo binomiale e la teoria delle successioni di Sheffer.

Voci correlate

• Fattoriale
• Calcolo combinatorio
• Numeri di Stirling
• Fattoriale crescente di base q