Superficie di Steiner

Animazione della superficie romana

La superficie di Steiner, scoperta dal matematico svizzero Jakob Steiner, è un'immersione auto-intersecante del piano proiettivo reale nello spazio 3-dimensionale, con un inusuale alto grado di simmetria. Questa applicazione non è un'immersione del piano proiettivo; comunque, la figura risultante dalla rimozione di sei punti singolari lo è.

La costruzione più semplice è l'immagine di una sfera centrata nell'origine sotto l'azione della funzione $f(x,y,z)=(yz,xz,xy)$. Ciò conduce alla formula implicita:

$x^2{y}^2+y^2{z}^2+z^2{x}^2-r^{2}xyz=0.$

Inoltre, parametrizzando la sfera in termini di longitudine ($\theta$) e latitudine ($\varphi$), si ottengono le seguenti equazioni parametriche per la superficie romana:

$x=r^2\cos (\theta )\cos (\varphi )\sin (\varphi )$

$y=r^2\sin (\theta )\cos (\varphi )\sin (\varphi )$

$z=r^2\cos (\theta )\sin (\theta ){\cos }^2(\varphi )$

L'origine è un punto triplo, e ognuno dei piani $xy$, $yz$, $xz$ è tangente alla superficie in questo punto. Gli altri siti dell'auto-intersezione sono punti doppi, che definiscono segmenti lungo ciascun asse coordinato e terminano in sei punti di schiacciamento. Il gruppo di simmetria della superficie è quello del tetraedro. Più in particolare, sono proiezioni lineari di una immersione in uno spazio a 5 dimensioni, detta superficie di Veronese, che è l'immagine di una sfera regolare centrata nell'origine.

Esistono $10$ tipi di superficie di Steiner (classificate da Coffman, Schwartz e Stanton) fra le quali la cross cap e la superficie romana di Steiner, così chiamata poiché Steiner la scoprì durante il suo soggiorno a Roma nel 1836.

Una superficie di Steiner è un polinomio quadratico $p_i=A{u}^2+Buv+C{v}^2+Du+Ev+F$ $(i=0,1,2,3)$ nelle variabili $u,v$ dato superficie nello spazio tridimensionale:: $(x,y,z)=(\frac{p_1}{p_0},\frac{p_2}{p_0},\frac{p_3}{p_0})$

Costruzione: dato lo spazio proiettivo reale, si considerino le coordinate omogenee $(u_0,u_1,u_2)$ nello spazio proiettivo 5-dimensionale, con le coordinate omogenee:

$(u_0^2,u_1^2,u_2^2,u_1{u}_2,u_0{u}_2,u_0{u}_1)$

Derivazione della formula implicita

Per semplicità considereremo solo il caso per $r=1$. Si tracci la sfera individuata dai tre punti $(x,y,z)$ tali che

$x^2+y^2+z^2=1,$

Applichiamo ora a questi punti la trasformazione $T$, dove $T(x,y,z)=(yz,zx,xy)=(U,V,W),$.

In questo modo, otteniamo che

$\begin{array}{cc}{U}^2{V}^2+V^2{W}^2+W^2{U}^2& =z^2{x}^2{y}^4+x^2{y}^2{z}^4+y^2{z}^2{x}^4=(x^2+y^2+z^2)(x^2{y}^2{z}^2)\\ & =(1)(x^2{y}^2{z}^2)=(xy)(yz)(zx)=UVW,\end{array}$

e perciò $U^2{V}^2+V^2{W}^2+W^2{U}^2-UVW=0$, che è la tesi voluta.

Derivazione delle equazioni parametriche

La superficie romana è data da:

$(p_0,p_1,p_2,p_3)=(u_0^2+u_1^2+u_2^2,u_1{u}_2,u_0{u}_2,u_0{u}_1)$

In coordinate affini abbiamo:

$x^2{y}^2+x^2{z}^2+y^2{z}^2-xyz=0$

Altre parametrizzazioni dell'equazione sono dati da:

$x=\frac{s}{1+s^2+t^3}$

$y=\frac{s\cdot t}{1+s^2+t^3}$

$z=\frac{t}{1+s^2+t^3},$

Si consideri ora una sfera di raggio $r$, longitudine $\varphi$, e latitudine $\theta$. Allora le sue equazioni parametriche sono

$x=r\cos \theta \cos \varphi ,$

$y=r\cos \theta \sin \varphi ,$

$z=r\sin \theta .$

Ora, applicando la trasformazione $T$ a tutti i punti di questa sfera otteniamo

$x^{\prime }=yz=r^2\cos \theta \sin \theta \sin \varphi ,$

$y^{\prime }=zx=r^2\cos \theta \sin \theta \cos \varphi ,$

$z^{\prime }=xy=r^2{\cos }^2\theta \cos \varphi \sin \varphi ,$

che sono i punti della Superficie di Steiner. Sia $\varphi$ compreso tra $0$ e $2\pi$, e $\theta$ variabile tra $0$ e $\frac{\pi }{2}$.

Ciò risulta dalla parametrizzazione della sfera unitaria

$(x,y,z)=(\cos (u)\cos (v),\sin (u)\cos (v),\sin (v))$

sotto la trasformazione $(x,y,z)\mapsto (xy,yz,xz)=(\cos (u)\sin (u){\cos (v)}^2,\sin (u)\cos (v)\sin (v),\cos (u)\cos (v)\sin (v)).$

Il cross-cap è dato da:

$(p_0,p_1,p_2,p_3)=(u_0^2+u_1^2+u_2^2,u_1{u}_2,2u_0{u}_1,u_0^2-u_1^2)$

In coordinate affini:

$4x^2(x^2+y^2+z^2+z)+y^2(y^2+z^2-1)=0$

Relazione col piano proiettivo reale

La sfera, prima di essere trasformata, non è omeomorfa col piano proiettivo reale $R{P}^2$, mentre la sfera centrata sull'origine possiede questa proprietà: vale a dire che, se i punti $(x,y,z)$ appartengono alla sfera, allora anche i punti antipodàli $(-x,-y,-z)$ appartengono alla medesima sfera, ma le due triplette di punti sono differenti e sono situati su lati opposti rispetto al centro della sfera.

La trasformazione $T$ converte le due triplette di punti antipodali, nel solito punto,

$T:(x,y,z)\to (yz,zx,xy),$

$T:(-x,-y,-z)\to ((-y)(-z),(-z)(-x),(-x)(-y))=(yz,zx,xy).$

Voci correlate

• Superficie di Boy

Collegamenti esterni

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