Quadrica

In matematica, e in particolare in geometria, una quadrica (o superficie quadrica) è una (iper-)superficie di uno spazio n-dimensionale sui complessi o sui reali rappresentata da un'equazione polinomiale del secondo ordine nelle variabili spaziali (coordinate). Se le coordinate spaziali sono $\{x_1,\dots ,x_n\}$, allora la generale quadrica nello spazio ${ℂ}^n$ (o ${ℝ}^n$) è definita da un'equazione della forma

$\sum _{i,j=1}^n{B}_{ij}{x}_i{x}_j+\sum _{i=1}^n{E}_i{x}_i+F=0,$

dove $B_{ij}$ è una matrice (non nulla), $E$ un vettore e $F$ una costante.

Un punto qualsiasi di una superficie quadrica si definisce iperbolico, parabolico o ellittico a seconda che il piano tangente alla superficie in quel punto tagli la quadrica in due rette reali e distinte, coincidenti o immaginarie coniugate. I punti di una quadrica sono tutti dello stesso tipo, cioè o tutti iperbolici o tutti parabolici o tutti ellittici. Tale caratteristica dipende solo dal segno del determinante della quadrica (invariante nei sistemi di riferimento cartesiani ortogonali) e viene spesso posta in evidenza come aggettivo della quadrica (ad esempio, iperboloide iperbolico).

Attraverso traslazioni e rotazioni ogni quadrica può essere trasformata in una forma "normalizzata", sensibilmente più semplice di quella generale. Ad esempio, l'equazione normalizzata di molte quadriche nello spazio a tre dimensioni ($n=3$) è:

$\pm \frac{x^2}{a^2}\pm \frac{y^2}{b^2}\pm \frac{z^2}{c^2}=1$

Nello spazio euclideo tridimensionale ogni quadrica può essere scritta in una delle seguenti 9 forme normalizzate:

Quadriche non degeneri
Ellissoide	Ellissoide scaleno	$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}=1$
	Sferoide prolato	$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{b^2}=1$
	Sferoide oblato	$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{a^2}+\frac{z^2}{b^2}=1$
	Sfera	$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{a^2}+\frac{z^2}{a^2}=1$
Paraboloide	Paraboloide ellittico	$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}-\frac{z}{c}=0$
	Paraboloide circolare	$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{a^2}-\frac{z}{c}=0$
	Paraboloide iperbolico	$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}-\frac{z}{c}=0$
Iperboloide	Iperboloide ad una falda (iperboloide iperbolico)	$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}-\frac{z^2}{c^2}=1$
	Iperboloide a due falde (iperboloide ellittico)	$-\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}=1$
Quadriche degeneri
Cono (a due falde)		$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}-\frac{z^2}{c^2}=0$
Cilindro	Cilindro ellittico	$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$
	Cilindro circolare	$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{a^2}=1$
	Cilindro parabolico	$\frac{x^2}{2a}+y=0$
	Cilindro iperbolico	$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$

Nello spazio proiettivo reale, a meno di una trasformazione proiettiva ci sono tre classi di equivalenza di quadriche:

• il cono, il cilindro e le altre quadriche "degeneri", cioè con curvatura gaussiana zero, sono tra loro equivalenti;
• i due paraboloidi iperbolici e le superfici rigate sono tra loro equivalenti;
• l'ellissoide, il paraboloide ellittico, l'iperboloide a due falde e le rimanenti quadriche sono tra loro equivalenti.

Nello spazio proiettivo complesso tutte le quadriche non degeneri sono tra loro equivalenti, a meno di trasformazioni proiettive.

Bibliografia

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Collegamenti esterni

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• http://www.geom.uiuc.edu/docs/reference/CRC-formulas/node61.html, 16 Quadrics in Geometry Formulas and Facts di Silvio Levy, estratto dalla trentesima edizione di CRC Standard Mathematical Tables and Formulas (CRC Press).