Funzione Gamma

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Funzione gamma sui numeri reali

In matematica, la funzione Gamma, nota anche come funzione gamma di Eulero è una funzione meromorfa, continua sui numeri reali positivi, che estende il concetto di fattoriale ai numeri complessi, nel senso che per ogni numero intero non negativo $n$ si ha:

$\mathrm{\Gamma }(n+1)=n!$,

dove $n!$ denota il fattoriale di $n,$ cioè il prodotto dei numeri interi da $1$ a $n$: $n!=1\cdot 2\cdot 3\cdots n$.

Definizione

File:Gamma abs.png

Valore assoluto della funzione gamma sul piano complesso

La notazione $\mathrm{\Gamma }(z)$ è dovuta a Legendre. Se la parte reale del numero complesso $z$ è positiva, allora l'integrale

$\mathrm{\Gamma }(z)=\underset{0}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}{t}^{z-1}{e}^{-t}dt$

converge assolutamente. Comunque, usando la continuazione analitica, si può estendere la definizione della $\mathrm{\Gamma }$ a tutti i numeri complessi $z$, anche con parte reale non positiva, ad eccezione degli interi minori o uguali a zero. Usando l'integrazione per parti, in effetti, si può dimostrare che:

$\mathrm{\Gamma }(z+1)=z\mathrm{\Gamma }(z),$

per cui si ha:

$\mathrm{\Gamma }(z)=\frac{\mathrm{\Gamma }(z+1)}{z}.$

In questo modo, la definizione della $\mathrm{\Gamma }$ può essere estesa dal semipiano $\mathrm{R}\mathrm{e}(z)>0$ a quello $\mathrm{R}\mathrm{e}(z)>-1$ (ad eccezione del polo in $z=0$), e successivamente a tutto il piano complesso (con poli in $z=0,-1,-2,\dots$).

Siccome $\mathrm{\Gamma }(1)=1$, la relazione riportata sopra implica, per tutti i numeri naturali $n$, che:

$\mathrm{\Gamma }(n+1)=n!.$

In statistica si incontra di frequente (per esempio nella variabile casuale normale) l'integrale:

$\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}{e}^{-\frac{x^2}{2}}dx=\sqrt{2\pi }$

che si ottiene ponendo $\frac{x^2}{2}=t$, e quindi $x=\sqrt{2t}$, ottenendo quindi $dx=\frac{\sqrt{2}}{2\sqrt{t}}dt$

$\begin{array}{cc}\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}{e}^{-\frac{x^2}{2}}dx& =2\underset{0}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}{e}^{-\frac{x^2}{2}}dx\\ & =2\underset{0}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{\sqrt{2}}{2}{t}^{-\frac{1}{2}}{e}^{-t}dt\\ & =\sqrt{2}\mathrm{\Gamma }\left(\frac{1}{2}\right)\\ & =\sqrt{2\pi }\end{array}$

Espressioni alternative

Le seguenti espressioni alternative per la funzione Gamma, sono valide su tutto il piano complesso (ad eccezione dei poli):

$\mathrm{\Gamma }(z)=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{n!n^z}{z(z+1)\cdots (z+n)}$

dovuta a Gauss,

$\mathrm{\Gamma }(z)=\frac{e^{-\gamma z}}{z}\prod _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{(1+\frac{z}{n})}^{-1}{e}^{z/n},$

dove $\gamma$ è la costante di Eulero-Mascheroni, dovuta a Schlömilch e ottenibile applicando il teorema di fattorizzazione di Weierstrass alla funzione $\frac{1}{\mathrm{\Gamma }(z)}$

$\frac{1}{\mathrm{\Gamma }(z)}=z{e}^{\gamma z}\prod _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(1+\frac{z}{n})e^{-\frac{z}{n}}.$

Un'ulteriore espressione alternativa è la seguente:

$\mathrm{\Gamma }(z)=\sum _{n=0}^{+\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^n}{n!}\frac{1}{z+n}+\underset{1}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}{t}^{z-1}{e}^{-t}dt.$

In questa formula sono espliciti i poli di ordine $1$ e residuo $\frac{(-1{)}^n}{n!}$ che la funzione Gamma ha in $z=-n$, per ogni $n$ intero non negativo.

La singolarità nell'origine può essere anche dedotta dalla relazione di ricorrenza. Infatti

$\underset{z\to 0}{\lim }\mathrm{\Gamma }(z)=\underset{z\to 0}{\lim }\frac{\mathrm{\Gamma }(z+1)}{z}=\underset{z\to 0}{\lim }\frac{1}{z},$

dove è stato fatto uso della relazione $\mathrm{\Gamma }(1)=1$.

Proprietà

Altre importanti proprietà della funzione Gamma sono la formula di riflessione di Eulero:

$\mathrm{\Gamma }(1-z)\mathrm{\Gamma }(z)=\frac{\pi }{\sin (\pi z)},z\in ̸\mathbb{Z},$

e quella di duplicazione:

$\mathrm{\Gamma }(z)\mathrm{\Gamma }(z+\frac{1}{2})=2^{1-2z}\sqrt{\pi }\mathrm{\Gamma }(2z)$

che a sua volta è un caso particolare della formula di moltiplicazione:

$\mathrm{\Gamma }(z)\mathrm{\Gamma }(z+\frac{1}{m})\mathrm{\Gamma }(z+\frac{2}{m})\cdots \mathrm{\Gamma }(z+\frac{m-1}{m})=(2\pi {)}^{(m-1)/2}{m}^{1/2-mz}\mathrm{\Gamma }(mz)$

la quale per $z=0$ diventa:

$\mathrm{\Gamma }\left(\frac{1}{m}\right)\mathrm{\Gamma }\left(\frac{2}{m}\right)\cdots \mathrm{\Gamma }\left(\frac{m-1}{m}\right)=\frac{(2\pi {)}^{(m-1)/2}}{\sqrt{m}}.$

Quest'ultima identità è ottenibile anche dalla formula di riflessione e dall'identità trigonometrica $\prod _{k=1}^{m-1}\sin \frac{k\pi }{m}=\frac{m}{2^{m-1}}$.

Le derivate della funzione Gamma:

${\mathrm{\Gamma }}^{(n)}(z)=\underset{0}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}[\ln (t){]}^n{t}^{z-1}{e}^{-t}dt$

possono essere espresse in funzione della stessa funzione Gamma e di altre funzioni, per esempio:

${\mathrm{\Gamma }}^{\prime }(z)=\mathrm{\Gamma }(z){\psi }_0(z),$

dove ${\psi }_0$ è la funzione poligamma di ordine zero. In particolare,

${\mathrm{\Gamma }}^{\prime }(1)=-\gamma ,$

dove $\gamma$ è la costante di Eulero-Mascheroni.

Si ha, inoltre:

$\frac{d}{dz}\ln \mathrm{\Gamma }(z)=\frac{{\mathrm{\Gamma }}^{\prime }(z)}{\mathrm{\Gamma }(z)}={\psi }_0(z)=-\gamma -\frac{1}{z}-\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(\frac{1}{n+z}-\frac{1}{n})$

che per $z=m$ intero positivo si riduce ad una somma finita

${\psi }_0(m)=\frac{{\mathrm{\Gamma }}^{\prime }(m)}{\mathrm{\Gamma }(m)}=-\gamma +1+\frac{1}{2}+\dots +\frac{1}{m-1}=-\gamma +H_{m-1},$

dove $H_{m-1}$ è l'(m-1)-esimo numero armonico.

Derivando membro a membro rispetto a $z$ si ha, ancora,

$\frac{d}{dz}\frac{{\mathrm{\Gamma }}^{\prime }(z)}{\mathrm{\Gamma }(z)}={\psi }_1(z)=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{(n+z{)}^2}$

che per $z=0$ diverge, mentre per $z=1$ diviene la serie armonica generalizzata di ordine 2

${\left[\frac{d}{dz}\frac{{\mathrm{\Gamma }}^{\prime }(z)}{\mathrm{\Gamma }(z)}\right]}_{z=1}={\psi }_1(1)=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{(n+1{)}^2}=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n^2}=\zeta (2)=\frac{{\pi }^2}{6}.$

Lukacs studiò altre proprietà nell'opera A Characterization of the Gamma Distribution negli Annals of Mathematical Statistics del 1955.

Ricordiamo anche che, a partire dalla funzione Gamma, la funzione poligamma di ordine $m$ è definita nel modo seguente:

${\psi }_m(z):={\left(\frac{d}{dz}\right)}^{m+1}\ln \mathrm{\Gamma }(z)={\left(\frac{d}{dz}\right)}^m\frac{{\mathrm{\Gamma }}^{\prime }(z)}{\mathrm{\Gamma }(z)}={\left(\frac{d}{dz}\right)}^m{\psi }_0(z).$

Valori notevoli

Probabilmente, il più noto valore che la funzione Gamma assume su numeri non interi è:

$\mathrm{\Gamma }\left(\frac{1}{2}\right)=\sqrt{\pi },$

che si può trovare ponendo $z=\frac{1}{2}$ nella formula di riflessione.

Oltre a questo e al già citato valore assunto sui numeri naturali, sono interessanti anche le seguenti proprietà, che interessano i multipli dispari di $\frac{1}{2}$

$\mathrm{\Gamma }\left(\frac{n}{2}\right)=\frac{(n-2)!!}{2^{(n-1)/2}}\sqrt{\pi }=(\genfrac{}{}{0ex}{}{\frac{n}{2}-1}{\frac{n-1}{2}})\left(\frac{n-1}{2}\right)!\sqrt{\pi },$

$\mathrm{\Gamma }(-\frac{n}{2})=\frac{\sqrt{\pi }}{\left(\begin{array}{c}-1/2\\ \frac{n+1}{2}\end{array}\right)\left(\frac{n+1}{2}\right)!},$

dove $n!!$ denota il semifattoriale e la parentesi tonda a due livelli il coefficiente binomiale.

Teorema di unicità

Template:Vedi anche Il teorema di Bohr-Mollerup afferma che, tra tutte le funzioni che estendono la funzione fattoriale, solo la funzione Gamma è tale che il suo logaritmo è una funzione convessa.

Bibliografia

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Voci correlate

• Funzione gamma incompleta
• Funzione digamma
• Funzione poligamma
• Teorema di Bohr-Mollerup
• Funzione beta di Eulero
• Distribuzione chi quadrato
• Variabile casuale Gamma
• Approssimazione di Stirling
• Funzione (matematica) - Integrale
• Teorema di Hölder

Collegamenti esterni

• Template:Collegamenti esterni
• Capitolo dedicato alla Gamma Function nella Digital Library of Mathematical Functions