Numero armonico

Un grafico della crescita dell'n-esimo numero armonico $H_{n,1}$ con $n=\lfloor x\rfloor$ (linea rossa) insieme al suo limite asintotico $\gamma +\ln [x]$ (linea blu).

In matematica, per ogni intero naturale n si definisce come n-esimo numero armonico la somma:

$H_n=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\cdots +\frac{1}{n}=\sum _{k=1}^n\frac{1}{k}$

Si tratta evidentemente di numeri razionali e si dimostra che le corrispondenti frazioni ridotte ai minimi termini hanno numeratore dispari e denominatore pari.

In concreto i primi termini della successione dei numeri armonici sono:

1, 3/2, 11/6, 25/12, 137/60, 49/20, 363/140, 761/280, 7129/2520, 7381/2520, 83711/27720, ...

I numeratori dei numeri armonici sono detti numeri di Wostenholme e costituiscono la successione A001008 dell'OEIS. I denominatori costituiscono la successione A002805 dell'OEIS.

I numeri armonici costituiscono le somme parziali della serie armonica, notoriamente divergente.

Numeri armonici alternati

I numeri armonici sono strettamente collegati a quelli che si possono chiamare numeri armonici alternati

$H{\text{'}}_n:=\sum _{k=1}^n(-1{)}^{k+1}\frac{1}{k}$ .

Questi sono le somme troncate della serie armonica alternata notoriamente convergente e sono esprimibili mediante i numeri armonici dalle formule

$H{\text{'}}_{2n}=H_{2n}-H_{n}H{\text{'}}_{2n+1}=H_{2n}-H_n+\frac{1}{2n+1}$

Espressione analitica

I numeri armonici (e quindi anche i numeri armonici alternati) si possono esprimere analiticamente come

$H_n=\gamma +\mathrm{\Psi }(n+1)$

mediante la costante di Eulero - Mascheroni e la funzione digamma (e di conseguenza mediante la funzione gamma)

$\mathrm{\Psi }(z)\equiv {\psi }_0(z):=\frac{d}{dz}\ln \mathrm{\Gamma }(z)=\frac{{\mathrm{\Gamma }}^{\prime }(z)}{\mathrm{\Gamma }(z)}.$

Numeri armonici generalizzati

Il concetto di numero armonico può essere generalizzato con la seguente definizione.

Fissati due interi naturali m ed n, si definisce come n-esimo numero armonico generalizzato di esponente m la somma:

$H_n^{(m)}:=\sum _{k=1}^n\frac{1}{k^m}$

Si può notare che i numeri armonici sono il caso particolare di numeri armonici generalizzati di esponente 1.

Per m negativi, si ottiene la somma di potenze di interi successivi

$\sum _{k=1}^n{k}^{|m|}$

che è strettamente legata ai polinomi di Bernoulli.

Collegamenti

I numeri armonici e i numeri armonici generalizzati che li comprendono si incontrano in numerose aree della matematica riferibili alla combinatoria e allo studio delle funzioni speciali. Essi intervengono nello studio di funzioni speciali particolari, ad es. della funzione poligamma della funzione polilogaritmo e della funzione zeta di Riemann; essi inoltre si incontrano in recenti sviluppi di elevata generalità, come le questioni collegate all'approssimazione di Hermite-Padé.

Bibliografia

• R. L. Graham, D. E. Knuth and O. Patashnik (1990): Concrete Mathematics, Addison-Wesley, p. 259.
• D. E. Knuth: The Art of Computer Programming. Addison-Wesley, Vol. 1, p. 615.

Voci correlate

• Identità con numeri armonici

Collegamenti esterni

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