Costante di Eulero-Mascheroni

La costante di Eulero-Mascheroni è una costante matematica, usata principalmente nella teoria dei numeri e nell'analisi matematica. È definita come limite della differenza tra la serie armonica troncata e il logaritmo naturale:

$\gamma =\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }(\sum _{k=1}^n\frac{1}{k}-\underset{1}{\overset{n}{\int }}\frac{1}{x}dx)=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }(\sum _{k=1}^n\frac{1}{k}-\ln n)=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }(H_n-\ln n),$

dove $H_n$ è l'ennesimo numero armonico. La sua valutazione approssimata è:

$\gamma \approx$ 0,57721 56649 01532 86060 65120 90082 40243 10421 59335 93992 35988 05767 23488 48677 26777 66467 09369 47063 29174 67495...

Non è noto se $\gamma$ sia un numero razionale o meno. Tuttavia, se si suppone che $\gamma$ sia razionale, l'analisi in frazioni continue dimostra che il suo denominatore ha più di 10²⁴²⁰⁸⁰ cifre.

Le costanti di Stieltjes sono una generalizzazione di tale costante.

Rappresentazione integrale

La costante può essere definita in più modi attraverso gli integrali:

$\gamma =\underset{1}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}(\frac{1}{\lfloor x\rfloor }-\frac{1}{x})dx$

dove le parentesi $\lfloor \cdot \rfloor$ indicano la funzione parte intera;

$\gamma =-\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{e}^{-x}\ln xdx;$

$\gamma =-\underset{0}{\overset{1}{\int }}\ln \ln \left(\frac{1}{x}\right)dx;$

$\gamma =\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}(\frac{1}{e^x-1}-\frac{1}{x{e}^x})dx;$

$\gamma =\underset{0}{\overset{1}{\int }}(\frac{1}{\ln x}+\frac{1}{1-x})dx;$

$\gamma =\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{1}{x}(\frac{1}{1+x}-e^{-x})dx;$

$\gamma =\underset{0}{\overset{1}{\int }}\underset{0}{\overset{1}{\int }}\frac{x-1}{(1-xy)\ln (xy)}dxdy.$

Altri integrali collegati con $\gamma$ sono:

$\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{e}^{-x^2}\ln xdx=-\frac{1}{4}(\gamma +2\ln 2)\sqrt{\pi };$

$\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{e}^{-x}(\ln x{)}^{2}dx={\gamma }^2+\frac{{\pi }^2}{6}.$

Sviluppo in serie

La costante di Eulero-Mascheroni si può esprimere tramite molte serie:

$\gamma =\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}[\frac{1}{k}-\ln (1+\frac{1}{k})];$

$\gamma =\sum _{m=2}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^m\zeta (m)}{m};$

$\gamma =\ln \left(\frac{4}{\pi }\right)+\sum _{m=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^{m-1}\zeta (m+1)}{2^m(m+1)}.$

È notabile la serie trovata da Vacca nel 1910:

$\gamma =\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{\lfloor {\log }_{2}n\rfloor }{n}(-1{)}^n$

dove, nuovamente, le parentesi $\lfloor \cdot \rfloor$ indicano la funzione parte intera. Essa si generalizza in

$\gamma =\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{{\log }_{b}n}{n}\{\begin{array}{cc}b-1& \text{se }b\mid n\\ -1& \text{se }b\nmid n,\end{array}$

per ogni intero $b\ge 2$.

Collegamento con le funzioni speciali

La Costante di Eulero-Mascheroni è collegata con molte funzioni speciali come la funzione zeta di Riemann, la funzione gamma e la funzione digamma.

$\gamma =\underset{s\to 1^{+}}{\lim }\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(\frac{1}{n^s}-\frac{1}{s^n})=\underset{s\to 1}{\lim }(\zeta (s)-\frac{1}{s-1})=-\psi (1)=\underset{x\to \mathrm{\infty }}{\lim }(x-\mathrm{\Gamma }\left(\frac{1}{x}\right)).$

Presenza in teoria dei numeri

La costante di Eulero-Mascheroni compare spesso in teoria dei numeri, ad esempio collegata ai numeri primi

$\gamma =\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }(\ln n-\sum _{p\le n}\frac{\ln p}{p-1}),$

$\gamma =-\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }[\ln \ln n+\sum _{p\le n}\ln (1-\frac{1}{p})],$

noto come terzo teorema di Mertens. Nel problema dei divisori di Dirichlet

$\sum _{k=1}^{n}d(n)=n\ln n+(2\gamma -1)n+O(\sqrt{n}).$

Inoltre,

$\gamma =\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{N_1(n)+N_0(n)}{2n(2n+1)}$

dove $N_1(n)$ e $N_0(n)$ sono rispettivamente il numero di 1 e di 0 nello sviluppo binario di $n$ (Sondow 2005).

Bibliografia

• Havil, J., Gamma: Exploring Euler's Constant, Princeton, NJ: Princeton University Press, 2003.

Voci correlate

• Funzione Gamma
• Funzione digamma
• Integrale esponenziale

Collegamenti esterni

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