Integrazione per parti

In matematica, il metodo di integrazione per parti è una delle principali procedure di risoluzione di integrali. Se un integrando è scomponibile nel prodotto di due funzioni, il metodo permette di calcolare l'integrale in termini di un altro integrale il cui integrando sia il prodotto della derivata di una funzione e della primitiva dell'altra.

Il metodo

Siano $f$ e $g$ due funzioni continue e derivabili in $x$. La derivata del prodotto delle due funzioni è pari a:

$\frac{\text{d}}{\text{d}x}[f(x)g(x)]=\frac{\text{d}f(x)}{\text{d}x}g(x)+f(x)\frac{\text{d}g(x)}{\text{d}x}=f^{\prime }(x)g(x)+f(x)g^{\prime }(x)$

Applicando ora l'operatore integrale ad entrambi i membri dell'equazione si ottiene:

$\int \frac{\text{d}}{\text{d}x}[f(x)g(x)]\text{d}x=\int [f^{\prime }(x)g(x)+f(x)g^{\prime }(x)]\text{d}x=\int [f^{\prime }(x)g(x)]\text{d}x+\int [f(x)g^{\prime }(x)]\text{d}x$

(Attenzione: abbiamo tacitamente supposto che gli integrali al secondo membro dell'equazione esistano).

Per il teorema fondamentale del calcolo integrale si ha che:

$f(x)g(x)=\int [f^{\prime }(x)g(x)]\text{d}x+\int [f(x)g^{\prime }(x)]\text{d}x$

quindi per risolvere un integrale possiamo sfruttarla nella seguente forma:

$\int [f^{\prime }(x)g(x)]\text{d}x=f(x)g(x)-\int [f(x)g^{\prime }(x)]\text{d}x$

La forza di questo metodo risiede nella capacità di individuare, fra le due funzioni $f(x)$ e $g(x)$, quella più facilmente derivabile/integrabile in maniera da poterla utilizzare per eliminare la difficoltà di integrazione insorta. La funzione $f^{\prime }(x)\text{d}x=\text{d}f(x)$ è detto fattore differenziale, mentre $g(x)$ è chiamato fattore finito.

Volendo applicare il procedimento appena eseguito su un intervallo di integrazione $(a,b)$ si ottiene:

${f(x)g(x)|}_a^b=\underset{a}{\overset{b}{\int }}[f^{\prime }(x)g(x)]\text{d}x+\underset{a}{\overset{b}{\int }}[f(x)g^{\prime }(x)]\text{d}x$

cioè:

$\underset{a}{\overset{b}{\int }}[f^{\prime }(x)g(x)]\text{d}x={f(x)g(x)|}_a^b-\underset{a}{\overset{b}{\int }}[f(x)g^{\prime }(x)]\text{d}x$

Esempi

• Vogliamo svolgere per parti:

$\int [\sin (x)\cos (x)]\text{d}x$

Poniamo $f(x)=\sin (x)$ e $g^{\prime }(x)=\cos (x)$ nell'espressione:

$\int [f(x)g^{\prime }(x)]\text{d}x=f(x)g(x)-\int [f^{\prime }(x)g(x)]\text{d}x$

ottenendo:

$\int [\sin (x)\cos (x)]\text{d}x=\sin (x)\sin (x)-\int [\cos (x)\sin (x)]\text{d}x$

$2\int [\sin (x)\cos (x)]\text{d}x={\sin }^2(x)$

$\int [\sin (x)\cos (x)]\text{d}x=\frac{{\sin }^2(x)}{2}+C$

• Vogliamo risolvere per parti:

$\int x{e}^x\text{d}x$

Poniamo $f(x)=x$ e $g^{\prime }(x)=e^x$ nell'espressione, come in precedenza:

$\int [f(x)g^{\prime }(x)]\text{d}x=f(x)g(x)-\int [f^{\prime }(x)g(x)]\text{d}x$

cioè:

$\int x{e}^x\text{d}x=x{e}^x-\int e^x\text{d}x$

$\int x{e}^x\text{d}x=x{e}^x-e^x+C$

$\int x{e}^x\text{d}x=e^x(x-1)+C$

Formule ricorsive di integrazione

Alcuni integrali possono essere risolti con il metodo di integrazione per parti in modo iterativo. Ad esempio:

$I_1=\int {\sin }^{2}xdx.$

Usando il metodo di integrazione per parti:

$\int \sin (x)\cdot \sin (x)dx=\int \sin (x)\cdot (-\cos (x){)}^{\prime }dx=$

$=-\sin (x)\cos (x)+\int {\cos }^2(x)dx=-\sin (x)\cdot \cos (x)+\int (1-{\sin }^2(x))dx.$

Dunque:

$I_1=x-\sin (x)\cdot \cos (x)-\int {\sin }^2(x)dx=x-\sin (x)\cdot \cos (x)-I_1,$

quindi abbiamo ottenuto che:

$I_1=\int {\sin }^2(x)dx=\frac{1}{2}(x-\sin (x)\cdot \cos (x))+C.$

A questo punto possiamo calcolare tutti gli $I_{n+1}$ integrali di questo tipo:

$I_{n+1}=\int {\sin }^{2n+1}(x)\sin (x)dx=\int {\sin }^{2n+1}(x)\cdot (-\cos (x){)}^{\prime }dx=$

$=-{\sin }^{2n+1}(x)\cdot \cos (x)+(2n+1)\int {\sin }^{2n}(x)\cdot {\cos }^2(x)dx=-{\sin }^{2n+1}(x)\cos x+(2n+1)\int {\sin }^{2n}(x)(1-{\sin }^{2}x)dx$

$I_{n+1}=\frac{1}{2n+2}[(2n+1)I_n-{\sin }^{2n+1}(x)\cdot \cos (x)]+C.$

Più dimensioni

La formula dell'integrazione per parti può essere estesa a funzioni di più variabili. Al posto di un intervallo si integra su un insieme n-dimensionale. Inoltre, si sostituisce alla derivata la derivata parziale.

Nello specifico, sia Ω un sottoinsieme aperto limitato di ${ℝ}^n$ con un bordo ∂Ω. Se u e v sono due funzioni differenziabili con continuità sulla chiusura di Ω, allora la formula di integrazione per parti è:

$\underset{\mathrm{\Omega }}{\int }\frac{\partial u}{\partial x_i}vdx=\underset{\partial \mathrm{\Omega }}{\int }uv{\nu }_{i}d\sigma -\underset{\mathrm{\Omega }}{\int }u\frac{\partial v}{\partial x_i}dx$

dove $\nu$ è la normale alla superficie unitaria uscente da ∂Ω, ν_i è la sua i-esima componente, con i che va da 1 a n. Sostituendo v nella formula precedente con v_i e sommando su i si ottiene la formula vettoriale:

$\underset{\mathrm{\Omega }}{\int }\mathrm{\nabla }u\cdot 𝐯dx=\underset{\partial \mathrm{\Omega }}{\int }u𝐯\cdot \nu d\sigma -\underset{\mathrm{\Omega }}{\int }u\mathrm{\nabla }\cdot 𝐯dx$

dove v è una funzione a valori vettoriali con componenti v_i.

Ponendo u uguale alla funzione costante 1 nella formula precedente si ottiene il teorema della divergenza. Con $𝐯=\mathrm{\nabla }v$ dove $v\in C^2(\overline{\mathrm{\Omega }})$, si ottiene:

$\underset{\mathrm{\Omega }}{\int }\mathrm{\nabla }u\cdot \mathrm{\nabla }vdx=\underset{\partial \mathrm{\Omega }}{\int }u\mathrm{\nabla }v\cdot \nu d\sigma -\underset{\mathrm{\Omega }}{\int }u\mathrm{\Delta }vdx$

che è la prima identità di Green.

Bibliografia

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Voci correlate

• Derivata
• Integrale
• Metodi di integrazione

Collegamenti esterni

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