Funzione poligamma

In matematica, per funzione poligamma di ordine m si intende la funzione speciale definita come derivata logaritmica m+1-esima della funzione Gamma:

${\psi }_m(z):={\left(\frac{d}{dz}\right)}^{m+1}\ln \mathrm{\Gamma }(z)={\left(\frac{d}{dz}\right)}^m\frac{{\mathrm{\Gamma }}^{\prime }(z)}{\mathrm{\Gamma }(z)}={\left(\frac{d}{dz}\right)}^m{\psi }_0(z)$ .

Qui

${\psi }_0(z)=\frac{{\mathrm{\Gamma }}^{\prime }(z)}{\mathrm{\Gamma }(z)}$

denota la funzione digamma e $\mathrm{\Gamma }(z)$ denota la funzione gamma.

Generalità

La funzione poligamma si denota anche ${\psi }^{(m)}$. La funzione ${\psi }_1$ viene detta anche funzione trigamma e la ${\psi }_2$ funzione tetragamma.

Nel semipiano complesso Re z >0 la funzione poligamma si può trattare mediante la seguente rappresentazione integrale.

${\psi }_n(z)=(-1{)}^{n+1}\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{t^n{e}^{-tz}}{1-e^{-t}}dt$ .

Vale la relazione di ricorrenza

${\psi }_n(z+1)={\psi }_n(z)+(-{)}^{n}n!z^{-(n+1)}$

Una poligamma ha la seguente rappresentazione mediante serie

${\psi }_n(z)=(-1{)}^{n+1}n!\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{(z+k{)}^{n+1}}$

che vale per n>0 e per ogni argomento complesso che non sia un intero negativo. Questa identità può essere scritta più concisamente servendosi della funzione zeta di Hurwitz

${\psi }_n(z)=(-1{)}^{n+1}n!\zeta (n+1,z)$ .

Si osserva quindi che la zeta di Hurwitz costituisce una famiglia di funzioni che amplia la famiglia costituita dalla poligamma: questa è caratterizzata da un parametro che varia nell'insieme degli interi positivi e la prima famiglia la amplia consentendo al parametro di variare nel campo complesso.

Lo sviluppo di Taylor con centro in z₀=1 è

${\psi }_n(z+1)=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^{n+k+1}(n+k)!\zeta (n+k+1)\frac{z^k}{k!}$

che converge per |z|<1. Qui $\zeta (s)$ denota la funzione zeta di Riemann.

Valgono inoltre la formula di riflessione

${\psi }_n(1-z)+(-1{)}^{n+1}{\psi }_n(z)=(-1{)}^n\pi \frac{d^n}{d{z}^n}\cot (\pi z)$

e la formula di moltiplicazione

${\psi }_n(mz)={\delta }_{n,0}\ln m+\frac{1}{m^{n+1}}\sum _{k=0}^{m-1}{\psi }_n(z+\frac{k}{m})$

Alcuni valori particolari

Si dimostra che

$\frac{d}{dz}\ln \mathrm{\Gamma }(z)=\frac{{\mathrm{\Gamma }}^{\prime }(z)}{\mathrm{\Gamma }(z)}={\psi }_0(z)=-\gamma -\frac{1}{z}-\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}(\frac{1}{z+k}-\frac{1}{k})$

dove $\gamma$ è la costante di Eulero-Mascheroni. Questa serie, per $z=m$ intero positivo, si riduce ad una somma finita

$\frac{{\mathrm{\Gamma }}^{\prime }(m)}{\mathrm{\Gamma }(m)}={\psi }_0(m)=-\gamma +1+\frac{1}{2}+\dots +\frac{1}{m-1}$

Derivando membro a membro rispetto a $z$ si ha, ancora,

$\frac{d}{dz}\frac{{\mathrm{\Gamma }}^{\prime }(z)}{\mathrm{\Gamma }(z)}={\psi }_1(z)=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{(z+k{)}^2}$

che per $z=0$ diverge, mentre per $z=1$ diviene la serie armonica generalizzata di ordine 2

${\left[\frac{d}{dz}\frac{{\mathrm{\Gamma }}^{\prime }(z)}{\mathrm{\Gamma }(z)}\right]}_{z=1}={\psi }_1(1)=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{(1+k{)}^2}=\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{k^2}=\zeta (2)=\frac{{\pi }^2}{6}$

Bibliografia

• Milton Abramowitz, Irene A. Stegun ): Handbook of Mathematical Functions, 1964, Dover Publications, New York. ISBN 9780486612720 Sezione 6.4.

Voci correlate

• Funzione Gamma
• Numero armonico

Collegamenti esterni

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