Distribuzione normale

La distribuzione normale (o distribuzione di Gauss dal nome del matematico tedesco Carl Friedrich Gauss, o distribuzione a Campana di Gauss), nella teoria della probabilità, è una distribuzione di probabilità continua che è spesso usata come prima approssimazione per descrivere variabili casuali a valori reali che tendono a concentrarsi attorno a un singolo valor medio.

Il grafico della funzione di densità di probabilità associata è simmetrico e ha una forma a campana, nota come "curva a campana", "curva normale", "curva gaussiana" o "curva degli errori".

Descrizione

La distribuzione normale è considerata il caso base delle distribuzioni di probabilità continue a causa del suo ruolo nel teorema del limite centrale. Un insieme di valori dato potrebbe essere normale: per stabilirlo si può usare un test di normalità. Più specificamente, assumendo certe condizioni, la somma di $n$ variabili casuali con media e varianza finite tende a una distribuzione normale al tendere di $n$ all'infinito. Grazie a questo teorema, la distribuzione normale si incontra spesso nelle applicazioni pratiche, venendo usata in statistica e nelle scienze naturali e sociali come un semplice modello per fenomeni complessi.

La distribuzione normale dipende da due parametri, la media $\mu$ e la varianza ${\sigma }^2$, ed è indicata tradizionalmente con:

$N(\mu ;{\sigma }^2).$

Metodologia

La distribuzione normale è caratterizzata dalla seguente funzione di densità di probabilità, cui spesso si fa riferimento con la dizione curva di Gauss o gaussiana:

$f(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi {\sigma }^2}}{e}^{-\frac{{(x-\mu )}^2}{2{\sigma }^2}}\text{ con }x\in ℝ,$

dove $\mu$ è il valore atteso e ${\sigma }^2$ la varianza.

Per dimostrare che $p_X(x)$ è effettivamente una funzione di densità di probabilità si ricorre innanzi tutto alla standardizzazione (statistica) della variabile casuale, cioè alla trasformazione tale per cui risulta:

$Z=\frac{x-\mu }{\sigma },$

dove la variabile risultante $-\mathrm{\infty }<Z<+\mathrm{\infty }$ ha anch'essa distribuzione normale con parametri $\mu =0$ e $\sigma =1$. L'integrale della funzione di densità di probabilità della variabile casuale standardizzata $Z$ è il seguente:

$S=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}{p}_Z(z)dz=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{1}{\sqrt{2\pi }}{e}^{-\frac{z^2}{2}}dz.$

Dato che deve necessariamente valere la condizione $S=1$, allora risulta anche $S^2=1$, quindi:

$S^2=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}{p}_Z(z)dz\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}{p}_Y(y)dy,$

$S^2=\frac{1}{2\pi }\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}{e}^{-\frac{z^2+y^2}{2}}dzdy,$

dove anche la variabile casuale $Y$ ha distribuzione normale standardizzata. Per risolvere questo integrale doppio si ricorre alle coordinate polari $z=\rho \cos \theta$ e $y=\rho \sin \theta$, dove $\rho \ge 0$ e $0\le \theta \le 2\pi$. La matrice jacobiana della trasformazione è

$J(\rho ,\theta )=\left[\begin{array}{cc}\frac{\partial z}{\partial \rho }& \frac{\partial z}{\partial \theta }\\ \\ \frac{\partial y}{\partial \rho }& \frac{\partial y}{\partial \theta }\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}\cos \theta & -\rho \sin \theta \\ \sin \theta & \rho \cos \theta \end{array}\right],$

il cui determinante è uguale a $|J(\rho ,\theta )|=\rho ({\cos }^2\theta +{\sin }^2\theta )=\rho$. Sostituendo nell'integrale di cui sopra si ottiene:

$S^2=\frac{1}{2\pi }\underset{0}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}\underset{0}{\overset{2\pi }{\int }}{e}^{-\frac{{\rho }^2({\cos }^2\theta +{\sin }^2\theta )}{2}}|J(\rho ,\theta )|d\theta d\rho =\underset{0}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}{e}^{-\frac{{\rho }^2}{2}}\rho d\rho =1.$

La sua funzione generatrice dei momenti è

$g(x)=e^{\mu x+{\sigma }^2\frac{x^2}{2}}.$

Il valore atteso e la varianza (che sono gli unici due parametri di questa variabile casuale) sono appunto $\mu$ e ${\sigma }^2$.

Non essendo possibile esprimere l'integrale della $p_X(x)$ in forma chiusa mediante funzioni elementari, è necessario rendere disponibili in forma tabellare i valori della sua funzione di ripartizione. I più usati sono:

$68,3\mathrm{\%}=P\{\mu -1,00\sigma <X<\mu +1,00\sigma \};$

$95,0\mathrm{\%}=P\{\mu -1,96\sigma <X<\mu +1,96\sigma \};$

$95,5\mathrm{\%}=P\{\mu -2,00\sigma <X<\mu +2,00\sigma \};$

$99,0\mathrm{\%}=P\{\mu -2,58\sigma <X<\mu +2,58\sigma \};$

$99,7\mathrm{\%}=P\{\mu -3,00\sigma <X<\mu +3,00\sigma \}.$

Essendo $p_X(x)$ una funzione simmetrica, è sufficiente conoscere la funzione di ripartizione dei valori positivi per conoscere pure quella dei valori negativi (e viceversa).

Dalla variabile casuale Normale si possono ottenere altre variabili casuali, come la t di Student, la Chi Quadrato e la F di Fisher-Snedecor, nonché le loro "varianti" non centrali (t non centrale, chi quadrato non centrale e F non centrale).

Teoremi

Combinazione lineare di variabili gaussiane

Se

$X_1,X_2,\cdots ,X_n$ sono $n$ variabili casuali Normali tra di loro indipendenti, ciascuna con valore atteso ${\mu }_i$ e varianza ${\sigma }_i^2$,

allora

la variabile casuale $Y={\alpha }_1{X}_1+{\alpha }_2{X}_2+\cdots +{\alpha }_n{X}_n$ è a sua volta una variabile casuale Normale con valore atteso $\mu ={\alpha }_1{\mu }_1+{\alpha }_2{\mu }_2+\cdots +{\alpha }_n{\mu }_n$ e varianza ${\sigma }^2={\alpha }_1^2{\sigma }_1^2+{\alpha }_2^2{\sigma }_2^2+\cdots +{\alpha }_n^2{\sigma }_n^2$.

Altri teoremi: teorema di Cochran.

Relazioni con altre variabili casuali

La Normale come derivazione da altre voci

I teoremi del limite centrale sono una famiglia di teoremi che hanno in comune l'affermazione che la somma (normalizzata) di un grande numero di variabili casuali è distribuita approssimativamente come una variabile casuale normale.

Se $X$ è distribuita come una variabile casuale binomiale con $n$ molto grande (per dare un'idea di quanto grande, possiamo dire che deve essere $n>30$), e approssimativamente $np>10$, allora la binomiale può essere approssimata con una Normale con valore atteso $np$ e varianza $npq:N(np;npq)$.

Se $X$ è distribuita come una variabile casuale poissoniana con il parametro $\lambda$ molto grande (orientativamente $\lambda >10$), allora la Poissoniana può essere approssimata con una Normale con valore atteso e varianza pari a $\lambda :N(\lambda ;\lambda )$.

Variabili casuali derivate dalla Normale

Date $n$ distribuzioni normali $Z_1(0;1);Z_2(0;1);\cdots Z_n(0;1)$ con media nulla e varianza unitaria indipendenti tra loro. Allora

${\chi }_n^2=Z_1^2+Z_2^2+\cdots +Z_n^2$

è una variabile casuale chi quadro con $n$ gradi di libertà.

Siano $Z_1,Z_2,\cdots ,Z_n$ variabili casuali indipendenti distribuite come una Normale con media nulla e varianza unitaria, e siano inoltre $a_1,a_2,\cdots ,a_n$ delle costanti tali che

$\lambda =\sum a_i^2,$

allora si indica con $\chi {\text{'}}^2$ la variabile casuale chi quadro non centrale con $n$ gradi di libertà costruita come

$\chi {\text{'}}^2=\sum (Z_i+a_i{)}^2.$

Se $Z\sim N(0;1)$ e $X\sim {\chi }_n^2$ tra loro indipendenti, allora $T=Z/\sqrt{X/n}$ è distribuita come una t di Student con $n$ gradi di libertà.

Se $X_1,X_2,\dots ,X_n\text{ i.i.d.}\sim 𝒩(\mu ,{\sigma }^2)$ e $\overline{X}=\frac{\sum _{i=1}^n{X}_i}{n}$ è la v.c. media campionaria, mentre ${\hat{\sigma }}^2=\frac{\sum _{i=1}^n(X_i-\overline{X}{)}^2}{n}$ è la v.c. varianza campionaria non corretta, allora $\overline{X}\sim 𝒩(\mu ,\frac{{\sigma }^2}{n})$ e $\frac{n{\hat{\sigma }}^2}{{\sigma }^2}\sim {\chi }^2(n-1)$, inoltre $\overline{X}$ e ${\hat{\sigma }}^2$ sono indipendenti.

Se $Z\sim N(0;1)$ e $T=\beta {(\frac{\alpha Z}{2}+\sqrt{\frac{(\alpha Z{)}^2}{4}+1})}^2$, allora $T$ è una v.c. di Birnbaum-Saunders con i parametri $\alpha$ e $\beta$.

La normale nell'inferenza bayesiana

Variabile casuale Gamma come priori coniugati della normale

Nell'ambito dell'inferenza bayesiana si trova la seguente relazione tra la normale e la distribuzione Gamma.

Se $x$ è una distribuzione normale con parametri $\mu$ e $1/\theta$

$f(x|\theta )=N(x|\mu ;1/\theta )$

e il parametro $\theta$ ha una distribuzione $\mathrm{\Gamma }$ con i parametri $a$ e $b$

$g(\theta )=\mathrm{\Gamma }(\theta |a;b),$

allora il parametro $\theta$ è distribuito a posteriori anch'esso come una variabile casuale Gamma, ma con parametri $a+\frac{1}{2}$ e $b+\frac{(\mu -x{)}^2}{2}$:

$g(\theta |x)=\mathrm{\Gamma }(\theta |a+1/2;b+(\mu -x{)}^2/2).$

Priori coniugati normale di una normale

Se $X$ è distribuita come una v.c. normale con parametri $m$ e ${\sigma }^2$

$f(x|m)=N(x|m;1/r^2)$

e il parametro $m$ è distribuito a priori come una v.c. normale con i parametri $\mu$ e ${\sigma }^2$

$g(m)=N(m|\mu ;{\sigma }^2),$

allora il parametro $m$ è distribuito a posteriori anch'esso come una v.c. Normale, ma con parametri:

$({\sigma }^2\mu +r^{2}x)/({\sigma }^2+r^2)$ e $({\sigma }^2{r}^2)/({\sigma }^2+r^2)$

$g(m|x)=N(m|({\sigma }^2\mu +r^{2}x)/({\sigma }^2+r^2);({\sigma }^2{r}^2)/({\sigma }^2+r^2)).$

Storia

Abraham de Moivre, nell'ambito dei suoi studi sulla probabilità, introdusse per la prima volta la distribuzione normale in un articolo del 1733. Gauss, che a quel tempo non era ancora nato, ne fu invece un grande utilizzatore: egli propose la "distribuzione normale" studiando il moto dei corpi celesti. Altri la usavano per descrivere fenomeni anche molto diversi come i colpi di sfortuna nel gioco d'azzardo o la distribuzione dei tiri attorno ai bersagli. Da qui i nomi "curva di Gauss" e "curva degli errori".

Nel 1809 il matematico americano Adrain pubblicò due derivazioni della legge normale di probabilità, simultaneamente e indipendentemente da Gauss I suoi lavori rimasero ampiamente ignorati dalla comunità scientifica fino al 1871, allorché furono "riscoperti" da Cleveland Abbe..

Nel 1835 Quételet pubblicò uno scritto nel quale, fra le altre cose, c'erano i dati riguardanti la misura del torace di soldati scozzesi e la statura dei militari di leva francesi. Quételet mostrò come tali dati si distribuivano come una "Gaussiana", ma non andò oltre.

Fu Galton a intuire che la curva in questione, da lui detta anche "ogiva", poteva essere applicata a fenomeni anche molto diversi, e non solo ad "errori". Questa idea di curva per descrivere i "dati" in generale portò ad usare il termine "Normale", in quanto rappresentava un substrato "normale" ovvero la "norma" per qualsiasi distribuzione presente in natura.

Nel tentativo di confrontare curve diverse, Galton - in mancanza di strumenti adeguati - si limitò ad usare due soli parametri: la media e la varianza, dando così inizio alla statistica parametrica.

Bibliografia

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Voci correlate

• Carl Friedrich Gauss
• Curva di Hubbert
• Distribuzione normale inversa
• Distribuzione normale multivariata
• Funzione gaussiana
• Integrale di Gauss
• Regola 68-95-99,7
• Statistica parametrica
• Teoria delle probabilità
• Teorema di Cochran

Collegamenti esterni

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