Derivata debole

In matematica, la derivata debole è una generalizzazione del concetto di derivata di una funzione a funzioni non necessariamente differenziabili, ma solamente integrabili, ovvero funzioni che appartengono allo spazio L¹.

La definizione di derivata debole origina le soluzioni deboli in spazi di Sobolev di problemi differenziali alle derivate parziali, frequenti in diversi settori dell'analisi, in particolare dell'analisi funzionale.

Definizione

Sia $u$ una funzione in $L^1([a,b])$. Si dice che $v\in L^1([a,b])$ è la derivata debole di $u$ se, per ogni $\phi \in C^{\mathrm{\infty }}([a,b])$ tale che $\phi (a)=\phi (b)=0$, vale che:

$\underset{a}{\overset{b}{\int }}u(t){\phi }^{\prime }(t)dt=-\underset{a}{\overset{b}{\int }}v(t)\phi (t)dt$

Questa definizione è motivata dalla tecnica di integrazione per parti.

Lo stesso concetto è generalizzabile per spazi a $n$ dimensioni: se $u$ appartiene allo spazio delle funzioni localmente integrabili in $\mathrm{\Omega }\subset {ℝ}^n$ (cioè fissato un punto $x$, $u$ è integrabile in un intorno $U\subset \mathrm{\Omega }$ di $x$), ovvero se $u\in L_{loc}^1(\mathrm{\Omega })$, allora, dato un multi-indice $\alpha$, $v\in L_{loc}^1(\mathrm{\Omega })$ è detta $\alpha$-esima derivata debole di $u$ se per ogni $\phi \in C_C^{\mathrm{\infty }}(U)$ (spazio delle funzioni infinitamente differenziabili e a supporto compatto), vale che:

$\underset{U}{\int }u{D}^{\alpha }\phi =(-1{)}^{|\alpha |}\underset{U}{\int }v\phi$

Se $u$ ammette una derivata debole, essa è solitamente indicata come:

${\mathrm{D}}^{\alpha }u=\frac{{\partial }^{|\alpha |}u}{\underset{x_1}{\overset{{\alpha }_1}{\partial }}\cdots \underset{x_n}{\overset{{\alpha }_n}{\partial }}}$

Il concetto di derivata debole ha motivato l'introduzione, nel XX secolo, di nuovi spazi di funzioni: gli spazi di Sobolev.

Esempi

• La funzione valore assoluto $u(t)=|t|$, non differenziabile per $t=0$, ammette come derivata debole $v$ la funzione segno:

$v(t)=\{\begin{array}{cc}1& \text{se }t>0\\ 0& \text{se }t=0\\ -1& \text{se }t<0\end{array}$

• La funzione caratteristica dei numeri razionali o funzione di Dirichlet $1_{\mathbb{Q}}$, che non è differenziabile in nessun punto del dominio, ammette derivata debole nulla: infatti, poiché la misura di Lebesgue di $\mathbb{Q}$ è 0, per ogni $\phi$

$\int 1_{\mathbb{Q}}(t)\phi (t)dt=0$

Proprietà

• Se due funzioni sono la derivata debole della stessa funzione, allora differiscono su un insieme di misura nulla. Se si considerano classi di equivalenza di funzioni, la derivata debole diventa unica.
• Se una funzione è derivabile in senso tradizionale, allora la derivata e la derivata debole coincidono (sempre a meno di insiemi di misura nulla). Per questo la derivata debole è considerata una generalizzazione della derivata tradizionale. Inoltre, le regole classiche di derivazione di somma e prodotto si estendono immutate alle derivate deboli.

Bibliografia

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Voci correlate

• Derivata
• Formulazione debole
• Funzione differenziabile
• Funzione integrabile
• Funzione localmente integrabile
• Generalizzazioni della derivata
• Integrazione per parti
• Spazio di Sobolev

Collegamenti esterni

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