Funzione integrabile

Nel calcolo infinitesimale, una funzione integrabile o funzione sommabile rispetto ad un dato operatore integrale è una funzione il cui integrale esiste ed il suo valore è finito. I due integrali più usati sono l'integrale di Riemann e l'integrale di Lebesgue, e la definizione dipende da quale operatore integrale si utilizza. Data la maggior diffusione e generalità dell'integrale di Lebesgue rispetto agli altri, tuttavia, per funzione integrabile si intende solitamente integrabile secondo Lebesgue. Nella maggior parte dei casi i termini "integrabile" e "sommabile" sono sinonimi, ma può capitare che uno dei due sia usato per il caso più generale di funzioni il cui integrale esiste e può essere infinito.

Integrale di Lebesgue

Template:Vedi anche Dato uno spazio di misura $(X,𝒜,\mu )$, una funzione semplice $s$ è una combinazione lineare finita di funzioni indicatrici di insiemi misurabili.

$s:X\to ℝ,s(x)=\sum _{k=1}^n{a}_k{\mathrm{𝟏}}_{A_k}(x)$

si definisce l'integrale di Lebesgue come:

$\underset{X}{\int }s(x)d\mu :=\sum _{k=1}^n{a}_k\mu (A_k)$

Una funzione $f:X\to ℝ$ non negativa si dice integrabile secondo Lebesgue se esiste finito l'estremo superiore:

$\underset{s}{\sup }\underset{X}{\int }s(x)d\mu =:\underset{X}{\int }f(x)d\mu$

dove $s$ è una arbitraria funzione semplice tale che $s\le f$. L'insieme delle funzioni che soddisfano tale definizione è detto insieme delle funzioni integrabili su X secondo Lebesgue rispetto alla misura $\mu$, o anche insieme delle funzioni sommabili, ed è denotato con $L^1(\mu )$.

In generale, una qualsiasi funzione si dice integrabile se lo sono le funzioni non negative:

$f^{+}(x)=\{\begin{array}{cc}f(x)& \text{se}f(x)\ge 0\\ 0& \text{altrimenti}\end{array}$

$f^{-}(x)=\{\begin{array}{cc}-f(x)& \text{se}f(x)<0\\ 0& \text{altrimenti}\end{array}$

che sono rispettivamente la parte positiva e parte negativa di $f$.

Si definisce in tal caso:

$\underset{X}{\int }f(x)d\mu :=\underset{X}{\int }{f}^{+}(x)d\mu -\underset{X}{\int }{f}^{-}(x)d\mu$

Integrale di Riemann

Template:Vedi anche Una funzione $f:[a,b]\to ℝ$ limitata si dice integrabile secondo Riemann se esiste finito il limite:

$\underset{\delta \to 0}{\lim }S(f,P,\{t_i\})=:\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)dx$

dove $P=\{x_1...,x_n\}$ è una arbitraria partizione dell'intervallo $[a,b]$ con calibro minore di $\delta$ (il calibro di una partizione è la massima ampiezza tra i sottointervalli della partizione data), $t_i\in [x_{i-1},x_i]$ e:

$S(f,P,\{t_i\})=\sum _{i=1}^{n}f(t_i)(x_i-x_{i-1})$

Il limite deve essere inteso nel seguente modo. Per ogni $\epsilon >0$ esiste un $\delta >0$ tale che per ogni partizione di $[a,b]$ con calibro minore di $\delta$ e per ogni scelta dei relativi punti $t_i$ vale:

$|\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)dx-S(f,P,\{t_i\})|<\epsilon$

Altri operatori di integrazione

Tra gli altri tipi di operatori integrali vi sono:

• Integrale di Riemann-Stieltjes
• Integrale di Lebesgue-Stieltjes
• Integrale di Bochner
• Integrale di Darboux
• Integrale di Daniell
• Integrale di Itō
• Integrale di Henstock-Kurzweil

Bibliografia

• Template:Cita libro

Voci correlate

• Integrale
• Funzione localmente integrabile
• Funzione a quadrato sommabile
• Spazio Lp