Funzione differenziabile

In matematica, in particolare in analisi matematica e geometria differenziale, una funzione differenziabile in un punto è una funzione che può essere approssimata a meno di un resto infinitesimo da una trasformazione lineare in un intorno abbastanza piccolo di quel punto.

Affinché ciò si verifichi è necessario (ma non sufficiente) che tutte le derivate parziali calcolate nel punto esistano, cioè se è differenziabile, allora è derivabile nel punto poiché esistono e sono finiti i limiti dei rapporti incrementali direzionali. Il concetto di differenziabilità permette di generalizzare il concetto di funzione derivabile a funzioni vettoriali di variabile vettoriale, e la differenziabilità di una funzione permette di individuare per ogni punto del suo grafico un iperpiano tangente.

Una funzione può essere differenziabile $k$ volte, e si parla in questo caso di funzione di classe $C^k$. Una funzione differenziabile infinite volte è inoltre detta liscia. Nell'analisi funzionale le distinzioni fra le varie classi $C^k$ sono molto importanti, mentre in altri settori della matematica queste differenze sono meno tenute in considerazione, e spesso si usa impropriamente il termine "funzione differenziabile" per definire una funzione liscia.

Definizione

Una funzione da $ℝ$ in $ℝ$ è derivabile in un punto se è approssimabile vicino a quel punto da una retta. Tale retta deve quindi essere tangente al grafico della funzione. Questa nozione si estende in dimensioni arbitrarie, e prende il nome di funzione differenziabile.

Una funzione:

$𝐅:U\to {ℝ}^m$

definita su un insieme aperto dello spazio euclideo ${ℝ}^n$ è detta differenziabile in un punto ${𝐱}_0$ del dominio se esiste una applicazione lineare:

$𝐋({𝐱}_0):{ℝ}^n\to {ℝ}^m$

tale che valga l'approssimazione:

$𝐅({𝐱}_0+𝐡)-𝐅({𝐱}_0)=𝐋({𝐱}_0)𝐡+𝐫(𝐡),$

dove $𝐫(𝐡)$ si annulla, con ordine di infinitesimo maggiore di 1, all'annullarsi dell'incremento $𝐡$. Tale condizione si può scrivere in modo equivalente:

$\underset{𝐡\to \mathrm{𝟎}}{\lim }\frac{𝐅({𝐱}_0+𝐡)-𝐅({𝐱}_0)-𝐋({𝐱}_0)𝐡}{\Vert \begin{array}{c}𝐡\end{array}\Vert }=\mathrm{𝟎}.$

Se la funzione $𝐅$ è differenziabile in ${𝐱}_0$, l'applicazione $𝐋$ è rappresentata dalla matrice jacobiana $J_F$.

Il vettore:

$𝐋({𝐱}_0)𝐡=\mathrm{d}𝐅({𝐱}_0)=J_F𝐡$

si chiama differenziale (esatto) di $𝐅$ in ${𝐱}_0$ ed $𝐋({𝐱}_{\mathrm{𝟎}})$ viene detto derivata o anche derivata totale della funzione $𝐅$.

La funzione $𝐅$ è infine differenziabile se lo è in ogni punto del dominio. In particolare, il teorema del differenziale totale afferma che una funzione è differenziabile in un punto se tutte le derivate parziali esistono in un intorno del punto per ogni componente della funzione e se sono inoltre funzioni continue. Se inoltre l'applicazione che associa $𝐱$ a $𝐋(𝐱)$ è continua, la funzione si dice differenziabile con continuità.

Nel caso di una funzione $f$ di una variabile definita su un intervallo aperto dell'asse reale, essa è detta differenziabile in $x_0$ se esiste un'applicazione lineare $L(x_0):ℝ\to ℝ$ tale che:

$\underset{h\to 0}{\lim }\frac{f(x_0+h)-f(x_0)-L(x_0)h}{h}=0$

ed in tal caso si ha:

$L(x)=f^{\prime }(x).$

Matrice jacobiana

Template:Vedi anche Se una funzione è differenziabile in un punto allora tutte le derivate parziali calcolate nel punto esistono, ma non vale il viceversa. Tuttavia, se tutte le derivate parziali esistono e sono continue in un intorno del punto allora la funzione è differenziabile nel punto, ovvero è di classe $C^1$.

Dette $\{{𝐞}_j{\}}_{1\le j\le n}$ e $\{{𝐮}_i{\}}_{1\le i\le m}$ le basi canoniche di ${ℝ}^n$ e ${ℝ}^m$ rispettivamente, si ha:

$𝐋(𝐱)\cdot {𝐞}_j=\sum _{i=1}^m\frac{\partial F_i(𝐱)}{\partial x_j}\cdot {𝐮}_i.$

L'applicazione lineare $𝐋({𝐱}_0)$ è quindi rappresentata nelle basi canoniche da una matrice $m\times n$, detta matrice jacobiana $J_F$ di $F$ in ${𝐱}_0$.

Il $j$-esimo vettore colonna della matrice jacobiana è dato dalla precedente relazione, e si ha:

$𝐋(𝐱)𝐡=\sum _{i=1}^m\left[\sum _{j=1}^n\frac{\partial F_i(𝐱)}{\partial x_j}{h}_j\right]{𝐮}_i=J_F𝐡=\left[\begin{array}{ccc}\frac{\partial F_1}{\partial x_1}& \cdots & \frac{\partial F_1}{\partial x_n}\\ ⋮& \ddots & ⋮\\ \frac{\partial F_m}{\partial x_1}& \cdots & \frac{\partial F_m}{\partial x_n}\end{array}\right]𝐡.$

A seconda delle dimensioni $m$ e $n$, il jacobiano ha diverse interpretazioni geometriche:

• Se $m=1$, la matrice jacobiana si riduce ad un vettore $n$-dimensionale, chiamato gradiente di $F$ in ${𝐱}_0$. In tal caso si ha:

$L(𝐱)=\mathrm{\nabla }F(𝐱)=\sum _{i=1}^n\frac{\partial F(𝐱)}{\partial x_j}{𝐞}_i\underset{𝐡\to \mathrm{𝟎}}{\lim }\frac{F({𝐱}_0+𝐡)-F({𝐱}_0)-\mathrm{\nabla }F({𝐱}_0)\cdot 𝐡}{\Vert \begin{array}{c}𝐡\end{array}\Vert }=0.$

Il gradiente indica la direzione di "massima pendenza" del grafico della funzione nel punto.

• Se $n=1$, la funzione $F$ parametrizza una curva in ${ℝ}^m$, il suo differenziale è una funzione che definisce la direzione della retta tangente alla curva nel punto.

• Se $m=n=1$, la condizione di differenziabilità coincide con la condizione di derivabilità. La matrice jacobiana si riduce ad un numero, pari alla derivata.

Differenziabilità in analisi complessa

Template:Vedi anche Sia $U$ un sottoinsieme aperto del piano complesso $ℂ$. Una funzione $f:U\to ℂ$ è differenziabile in senso complesso ($ℂ$-differenziabile) in un punto $z_0$ di $U$ se esiste il limite:

$f^{\prime }(z_0)=\underset{z\to z_0}{\lim }\frac{f(z)-f(z_0)}{z-z_0}.$

Il limite va inteso in relazione alla topologia del piano. In altre parole, per ogni successione di numeri complessi che convergono a $z_0$ il rapporto incrementale deve tendere allo stesso numero, indicato con $f^{\prime }(z_0)$. Se $f$ è differenziabile in senso complesso in ogni punto $z_0$ di $U$, essa è una funzione olomorfa su $U$. Si dice inoltre che $f$ è olomorfa nel punto $z_0$ se è olomorfa in qualche intorno del punto, e che $f$ è olomorfa in un insieme non aperto $A$ se è olomorfa in un aperto contenente $A$.

La relazione tra la differenziabilità di funzioni reali e funzioni complesse è data dal fatto che se una funzione complessa $f(z)\equiv f(x+iy)=u(x,y)+iv(x,y)$ è olomorfa allora $u$ e $v$ possiedono derivata parziale prima rispetto a $x$ e $y$ e soddisfano le equazioni di Cauchy-Riemann:

$\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}\frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{\partial v}{\partial x}.$

In modo equivalente, la derivata di Wirtinger $\partial f/\partial \bar{z}$ di $f$ rispetto al complesso coniugato $\bar{z}$ di $z$ è nulla.

Proprietà delle funzioni differenziabili

• Una funzione differenziabile in un punto ${𝐱}_0$ è continua in ${𝐱}_0$. Infatti:

$\underset{𝐡\to \mathrm{𝟎}}{\lim }F({𝐱}_0+𝐡)-F({𝐱}_0)=\underset{𝐡\to \mathrm{𝟎}}{\lim }\Vert \begin{array}{c}𝐡\end{array}\Vert \frac{F({𝐱}_0+𝐡)-F({𝐱}_0)-A𝐡}{\Vert \begin{array}{c}𝐡\end{array}\Vert }+A𝐡=\mathrm{𝟎}$

per la definizione data di funzione differenziabile e per la continuità delle funzioni lineari.

• Se $F:{ℝ}^n\to {ℝ}^m$ è una funzione differenziabile in ${𝐱}_0$, allora essa ammette tutte le derivate parziali in ${𝐱}_0$. Viceversa non è sempre vero che l'esistenza delle derivate parziali in un punto garantisca anche la differenziabilità nel punto. Ad esempio, la funzione reale di due variabili reali:

$F(x,y)=\{\begin{array}{cc}0& (x,y)=(0,0)\\ \frac{x{y}^2}{x^2+y^4}& (x,y)\ne (0,0)\end{array}$

ammette derivate parziali ovunque, ma il fatto che in $(0,0)$ la funzione non sia continua impedisce la sua differenziabilità in $(0,0)$. Tuttavia, se $F$ è di classe $C^1$ in un intorno di ${𝐱}_0$, cioè se esistono tutte le derivate parziali di $F$ e queste sono funzioni continue, allora $F$ è differenziabile in ${𝐱}_0$. Vale quindi, se $\mathrm{\Omega }\subseteq {ℝ}^n$ è aperto, che $F\in C^1(\mathrm{\Omega })$ implica la differenziabilità in $\mathrm{\Omega }$ che implica a sua volta che $F\in C^0(\mathrm{\Omega })$.

Approssimazioni

Template:Vedi anche Da un punto di vista informale, una funzione differenziabile è una funzione tale da apparire sempre più simile ad una trasformazione affine quando viene vista ad ingrandimenti sempre maggiori. La trasformazione affine che approssima $F$ in un intorno di ${𝐱}_0$ è la funzione:

$𝐱\mapsto F({𝐱}_0)+\mathrm{D}F({𝐱}_0)(𝐱-{𝐱}_0).$

Per verificarlo, si consideri un intorno di ${𝐱}_0$ di raggio $\delta$.

Se si effettua uno zoom sul grafico di $F$ in modo che l'intorno ci appaia di raggio $1$, la distanza che si vede tra la funzione $F$ e la funzione affine che la approssima in corrispondenza del punto $𝐱={𝐱}_0+𝐡$ è uguale a:

$\frac{F({𝐱}_0+𝐡)-F({𝐱}_0)-\mathrm{D}F({𝐱}_0)𝐡}{\delta },$

dove la divisione per $\delta$ corrisponde al riscalamento dovuto allo "zoom" che si sta operando sull'intorno. Quindi la massima distanza che si vede nell'intorno riscalato è:

$\underset{\Vert 𝐡\Vert \le \delta }{\sup }\frac{F({𝐱}_0+𝐡)-F({𝐱}_0)-\mathrm{D}F({𝐱}_0)𝐡}{\delta },$

ora si può dimostrare che dalla definizione di differenziabilità di $F$ si deduce che:

$\underset{\delta \to 0}{\lim }\underset{\Vert 𝐡\Vert \le \delta }{\sup }\frac{F({𝐱}_0+𝐡)-F({𝐱}_0)-DF({𝐱}_0)𝐡}{\delta }=0,$

il che significa che quello che si osserva ingrandendo progressivamente il grafico di $F$ e della sua approssimazione affine intorno a ${𝐱}_0$ è che questi tendono a coincidere. Viceversa, la relazione implica direttamente la differenziabilità di $F$.

Bibliografia

• Template:Cita libro (capitolo 2, paragrafo 13)
• Template:Cita libro (capitolo 3, paragrafo 29)
• Template:Cita libro

Voci correlate

• Derivata
• Derivata direzionale
• Derivata parziale
• Differenziale (matematica)
• Funzione continua
• Gradiente
• Matrice jacobiana
• Modulo di continuità

Collegamenti esterni

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