Funzione a supporto compatto

In matematica, una funzione a valori reali o complessi definita su un dominio di ${ℝ}^n$ (o, più in generale, in uno spazio topologico) si dice funzione a supporto compatto se ha per supporto un sottoinsieme compatto dell'insieme di definizione (il supporto è definito come la chiusura dell'insieme dei punti del dominio in cui la funzione non si annulla).

Rivestono particolare importanza le funzioni a supporto compatto che sono anche continue o infinitamente differenziabili: in tal caso si restringe il campo ad una classe molto ristretta di funzioni, dette funzioni di test, che vengono usate principalmente nella teoria delle distribuzioni.

Dal teorema di Heine-Borel e dalla definizione di supporto di una funzione segue che una funzione con dominio in ${ℝ}^n$ (o ${ℂ}^n$) è a supporto compatto se e solo se è diversa da 0 in un insieme limitato di punti, in quanto la chiusura di un insieme limitato è a sua volta limitata ed è chiusa per definizione.

Definizione

Una funzione definita su uno spazio topologico $X$ si dice essere a supporto compatto se il suo supporto:

$\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}\mathrm{p}f:=\overline{\{𝐱\in X:f(𝐱)\ne \mathrm{𝟎}\}}$

è un sottoinsieme compatto di $X$, ovvero per ogni famiglia $\{U_i{\}}_{i\in I}$ di sottoinsiemi aperti di $\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}\mathrm{p}f$ tale che:

$\bigcup _{i\in I}{U}_i\supseteq \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}\mathrm{p}f$

esiste un sottoinsieme finito $J$ di $I$ tale che:

$\bigcup _{i\in J}{U}_i\supseteq \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}\mathrm{p}f$

Un'importante classe di funzioni a supporto compatto è quella delle funzioni test. Lo spazio delle funzioni test sul dominio $O$ di ${ℝ}^n$ è chiamato $D(O)$, mentre lo spazio delle funzioni test su ${ℝ}^n$ è denotato con $D$, ove non sia necessario specificare il numero di variabili.

È da notare che una funzione a supporto compatto in un dato dominio di ${ℝ}^n$ può essere prolungata in modo naturale ad una funzione a supporto compatto su tutto ${ℝ}^n$ semplicemente assegnando il valore 0 a tutti i punti al di fuori del dominio originario. In questo modo è possibile pensare ad una funzione in $D(O)$ come avente dominio in ${ℝ}^n$, e quindi se $O\subset O^{\prime }\subset {ℝ}^n$ si ha anche $D(O)\subset D(O^{\prime })\subset D$.

Le funzioni continue a supporto compatto

Una classe particolarmente importante di funzioni a supporto compatto è quella delle funzioni che sono anche continue. Si dimostra che lo spazio $C_c(X)$ delle funzioni continue a supporto compatto su uno spazio di Hausdorff localmente compatto $X$ e a valori complessi è denso in uno spazio L^p definito su uno spazio di misura, a patto che $1\le p<\mathrm{\infty }$. Tale classe di funzioni gode inoltre della proprietà che due funzioni in $C_c({ℝ}^k)$ differiscono soltanto per insiemi di misura di Lebesgue non nulla, e pertanto se sono uguali quasi ovunque allora sono uguali. Inoltre, facendo coincidere $X$ con lo spazio ${ℝ}^k$, poiché $L^p({ℝ}^k)$ è completo, esso è il completamento dello spazio ottenuto dotando $C_c({ℝ}^k)$ della $L^p$-metrica. Nel caso in cui $p=\mathrm{\infty }$, il completamento di $C_c({ℝ}^k)$ tramite la $L^{\mathrm{\infty }}$-metrica è lo spazio $C_0({ℝ}^k)$ delle funzioni continue che si annullano all'infinito.

Proprietà

Le funzioni a supporto compatto godono inoltre delle seguenti proprietà.

• Data una funzione $f$ localmente integrabile in ${ℝ}^n$ e una $\varphi$ in $D$, allora l'integrale di Lebesgue:

$\int f(x)\varphi (x)d^{n}x$

ha sempre valore finito.

• Se $g$ è una funzione assolutamente continua su $ℝ$ con derivata di Radon-Nikodym $g^{\prime }$, allora vale:

$\int g^{\prime }(x)\varphi (x)dx=-\int g(x){\varphi }^{\prime }(x)dx$

In altre parole, nell'eseguire l'integrazione per parti con una funzione test, i termini di bordo si annullano.

• La somma o il prodotto di due funzioni a supporto compatto è ancora a supporto compatto.

Convergenza

Lo spazio $D(O)$ può essere munito di una struttura di spazio topologico definendo un criterio di convergenza per le successioni. Una successione di funzioni $\{{\varphi }_k\}$ di $D(O)$ converge a una funzione $\varphi \in D(O)$ se il supporto di ${\varphi }_k$ è contenuto nel supporto di $\varphi$, e se le derivate di ogni ordine di ${\varphi }_k$ convergono uniformemente alle corrispondenti derivate di $\varphi$.

Si tratta di una condizione molto forte di convergenza. Infatti, una successione convergente in $D(O)$ è anche puntualmente convergente, uniformemente convergente e convergente nello spazio delle funzioni p-sommabili per ogni $p$.

Esempi

• Un esempio di funzione a supporto compatto è la funzione a campana:

$\mathrm{\Omega }(x)=\{\begin{array}{cc}{e}^{-\frac{1}{1-|x{|}^2}}& |x|<1\\ 0& |x|\ge 1\end{array}$

definita su tutto ${ℝ}^n$.

La funzione $\mathrm{\Omega }$ ha supporto nel disco chiuso di raggio 1 centrato nello 0, è infinitamente derivabile e si annulla con tutte le sue derivate per $||x||\to 1$.

La funzione Ω in dimensione 1

• Una stretta parente della funzione a campana è data, $\mathrm{\forall }\epsilon >0$, da:

${\mathrm{\Omega }}_{\epsilon }(x)=\{\begin{array}{cc}{K}_{\epsilon }{e}^{-\frac{1}{1-\frac{|x{|}^2}{{\epsilon }^2}}}& |x|<\epsilon \\ 0& |x|\ge \epsilon \end{array}$

dove $K_{\epsilon }$ è una costante reale positiva scelta in modo da avere:

$\int {\mathrm{\Omega }}_{\epsilon }(x)d^{n}x=1$

La funzione ${\mathrm{\Omega }}_{\mathrm{\epsilon }}$ gode delle stesse proprietà della campana, salvo che ha supporto nel disco chiuso di raggio $\epsilon$. Si può dimostrare che le ${\mathrm{\Omega }}_{\mathrm{\epsilon }}$ sono approssimanti della delta, nel senso che, presa una funzione $\mathrm{\varphi }$ continua nello 0, vale $\underset{\epsilon \to 0}{\lim }\int {\mathrm{\Omega }}_{\epsilon }(x)\varphi (x)d^{n}x=\varphi (0)$.

• Un'importante funzione a supporto compatto in una variabile si ottiene dalla convoluzione di ${\mathrm{\Omega }}_{\mathrm{\epsilon }}$ con la funzione caratteristica ${\mathrm{\chi }}_{[-1,1]}(x)$, che vale 1 per $-1\le x\le 1$ e 0 altrimenti. Si ha quindi, per ogni $\epsilon >0$:

${\mathrm{\chi }}_{\mathrm{\epsilon }}\mathrm{(}\mathrm{x}\mathrm{)}=\int {\mathrm{\Omega }}_{\epsilon }(x-y){\chi }_{[-1,1]}(y)dy$

Si vede che, per questa funzione, vale:

${\chi }_{\epsilon }(x)=\{\begin{array}{cc}1& |x|<1-\epsilon \\ 0& |x|>1+\epsilon \end{array}$

quindi, per $\epsilon \to 0,{\mathrm{\chi }}_{\mathrm{\epsilon }}\mathrm{(}\mathrm{x}\mathrm{)}\to {\mathrm{\chi }}_{[-1,1]}(x)$ puntualmente.

Bibliografia

• Template:Cita libro
  • trad. it.:Template:Cita libro
• Template:En K. Yosida, Functional analysis , Springer (1980) pp. Chapt. 8, Sect. 4; 5

Voci correlate

• Funzione continua
• Funzione liscia
• Funzione test
• Funzione di cutoff
• Spazio compatto
• Supporto (matematica)
• Teorema di Heine-Borel

Collegamenti esterni

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