Funzione segno

Funzione segno

In matematica e in informatica, la funzione segno è una funzione matematica definita a tratti che estrae il segno di un numero reale. Per evitare confusioni con la funzione seno, questa funzione è spesso chiamata funzione signum.

Definizione

La funzione segno è spesso rappresentata con sgn, e può essere definita come segue:

$\mathrm{sgn}x=\{\begin{array}{cc}-1,& \text{se}x<0,\\ 0,& \text{se}x=0,\\ 1,& \text{se}x>0,\end{array}$

o usando la notazione di Iverson:

$\mathrm{sgn}x=-[x<0]+[x>0].$

Ogni numero reale può essere espresso come prodotto del suo valore assoluto e della sua funzione segno:

$x=(\mathrm{sgn}x)|x|.(1)$

Dall'equazione (1) segue che per $x\ne 0$ si ha

$\mathrm{sgn}x=\frac{x}{|x|}.(2)$

Dunque potremmo anche dare un'ulteriore definizione alternativa alla funzione segno col seguente modello:

$\mathrm{sgn}x=\{\begin{array}{cc}\frac{x}{|x|},& \text{se}x\ne 0,\\ 0,& \text{altrimenti.}\end{array}$

La funzione segno è la derivata della funzione valore assoluto (a meno della singolarità in 0):

$\frac{\mathrm{d}|x|}{\mathrm{d}x}=\frac{|x|}{x}.$

La funzione segno è differenziabile con derivata 0 ovunque eccetto in 0. Non è differenziabile in 0 nel senso ordinario, ma sotto una nozione generalizzata di differenziabilità (cf. distribuzione) possiamo dire che la derivata della funzione segno è il doppio della delta di Dirac:

$\frac{\mathrm{d}\mathrm{sgn}x}{\mathrm{d}x}=2\delta (x).$

La funzione segno è esprimibile con la funzione gradino di Heaviside h_½(x):

$\mathrm{sgn}x=2h_{1/2}(x)-1,$

dove il pedice ½ indica che la funzione gradino in 0 è pari a 1/2.

La funzione segno, per ogni $z\in ℂ\setminus \{0\}$, può essere generalizzata ai numeri complessi:

$\mathrm{sgn}z=\frac{z}{|z|}.$