Notazione multi-indice

La notazione multi-indice è una notazione matematica che permette la notevole semplificazione di molte formule, mediante la generalizzazione del concetto di indice a quello di ennupla ordinata di indici. Trova applicazione, ad esempio, nel calcolo in più variabili, nelle equazioni differenziali alle derivate parziali e nella teoria delle distribuzioni.

Un multi-indice n-dimensionale è una ennupla di numeri naturali, cioè numeri interi, maggiori o uguali a zero, $\alpha =({\alpha }_1,{\alpha }_2,\dots ,{\alpha }_n)\in {\mathbb{N}}^n$ .

Regole

Si definiscono le seguenti regole, per $\alpha ,\beta \in {\mathbb{N}}^n,𝐱=(x_1,x_2,\dots ,x_n)\in {ℝ}^n$:

$\alpha \pm \beta =({\alpha }_1\pm {\beta }_1,{\alpha }_2\pm {\beta }_2,\dots ,{\alpha }_n\pm {\beta }_n);$

$\alpha \le \beta \iff {\alpha }_i\le {\beta }_i\mathrm{\forall }i;$

$|\alpha |={\alpha }_1+{\alpha }_2+\dots +{\alpha }_n;$

$\alpha !={\alpha }_1!{\alpha }_2!\dots {\alpha }_n!;$

$(\genfrac{}{}{0ex}{}{\alpha }{\beta })=\frac{\alpha !}{(\alpha -\beta )!\beta !}=(\genfrac{}{}{0ex}{}{{\alpha }_1}{{\beta }_1})(\genfrac{}{}{0ex}{}{{\alpha }_2}{{\beta }_2})\dots (\genfrac{}{}{0ex}{}{{\alpha }_n}{{\beta }_n});$

${𝐱}^{\alpha }=x_1^{{\alpha }_1}{x}_2^{{\alpha }_2}\dots x_n^{{\alpha }_n};$

$D^{\alpha }=D_1^{{\alpha }_1}{D}_2^{{\alpha }_2}\dots D_n^{{\alpha }_n},$ dove $D_i^j:={\partial }^j/\partial x_i^j$. Al posto della lettera D maiuscola si usa anche la notazione ${\partial }^{\alpha }.$

Questa notazione permette di estendere molte formule del calcolo 1-variato ai casi n-variati. Alcuni esempi delle applicazioni più comuni:

Sviluppo multinomiale

${\left(\sum _{i=1}^n{x}_i\right)}^k=\sum _{|\alpha |=k}^{}\frac{k!}{\alpha !}{𝐱}^{\alpha }.$

Formula di Leibniz

Se u, v sono differenziabili, allora

$D^{\alpha }(uv)=\sum _{\nu \le \alpha }^{}(\genfrac{}{}{0ex}{}{\alpha }{\nu })D^{\nu }u{D}^{\alpha -\nu }v.$

Serie di Taylor

Se f è analitica, allora

$f(𝐱+𝐡)=\sum _{|\alpha |\ge 0}^{}\frac{D^{\alpha }f(𝐱)}{\alpha !}{𝐡}^{\alpha }.$

Un operatore differenziale parziale dell'n-esimo ordine si può scrivere come

$P(D)=\sum _{|\alpha |\le N}{a}_{\alpha }(x)D^{\alpha }.$

Integrazione parziale

Se u, v sono differenziabili a supporto compatto in un dominio limitato $\mathrm{\Omega }\subset {ℝ}^n$ si ha che

$\underset{\mathrm{\Omega }}{\int }u(D^{\alpha }v)dx=(-1{)}^{|\alpha |}\underset{\mathrm{\Omega }}{\overset{}{\int }}(D^{\alpha }u)vdx.$

Questa formula è usata per le definizioni di distribuzione e di derivata debole.

Teorema

• Tesi: Se i, k sono multi-indici n-dimensionali e $x=(x_1,\dots ,x_n)\in {ℝ}^n,$ allora

${\partial }^i{x}^k=\{\begin{array}{cc}\frac{k!}{(k-i)!}{x}^{k-i}& \text{se }i\le k,\\ 0& \text{altrimenti.}\end{array}$

• Dimostrazione: Dalla regola di derivazione ordinaria, vale che, se i,k = 0,1,...

$\frac{d^i}{d{x}^i}{x}^k=\{\begin{array}{cc}\frac{k!}{(k-i)!}{x}^{k-i}& \text{se }i\le k,\\ 0& \text{altrimenti.}\end{array}$

Se supponiamo $i=(i_1,\dots ,i_n)$, $k=(k_1,\dots ,k_n)$, allora abbiamo che

${\partial }^i{x}^k=\frac{{\partial }^{|i|}}{\partial x_1^{i_1}\cdots \partial x_n^{i_n}}{x}_1^{k_1}\cdots x_n^{k_n}=\frac{{\partial }^{i_1}}{\partial x_1^{i_1}}{x}_1^{k_1}\cdots \frac{{\partial }^{i_n}}{\partial x_n^{i_n}}{x}_n^{k_n},$

in quanto per ogni r=1,...,n la funzione $x_r^{k_r}$ dipende solo dall'r-esima coordinata. Dall'uguaglianza scritta sopra, si evince che ogni differenziazione parziale $\partial /\partial x_r$ si riduce alla derivazione ordinaria $d/d{x}_r$. Ma allora, dalla regola di derivazione scritta all'inizio, ne segue che ${\partial }^i{x}^k$ si annulla se $i_r>k_r$ per qualche r=1,...,n. Se ciò non accade mai, cioè se, per definizione, $i\le k$ nel senso del multi-indice, allora per ogni r=1,...,n viene $\frac{d^{i_r}}{d{x}_r^{i_r}}{x}_r^{k_r}=\frac{k_r!}{(k_r-i_r)!}{x}_r^{k_r-i_r}$ e dunque la tesi del teorema. $◻$

Collegamenti esterni

• Template:En Multi-index derivative of a power su PlanetMath