Forma differenziale

In geometria differenziale e nel calcolo differenziale a più variabili, una forma differenziale è un particolare oggetto che estende la nozione di funzione a più variabili.

Su una $n$-varietà differenziabile, ad esempio un aperto dello spazio euclideo ${ℝ}^n$, una forma differenziale $\omega$ ha una dimensione $k$ minore o uguale a $n$. Per questa ragione, viene anche indicata brevemente come $k$-forma. Nel caso $k=0$, la forma $\omega$ è un'ordinaria funzione. In generale, la proprietà che caratterizza $\omega$ è la possibilità di effettuare l'integrale di $\omega$ su un qualsiasi oggetto geometrico $\mathrm{\Gamma }$, di analoga dimensione $k$, di una generica $n$-varietà differenziabile. Il risultato di questa integrazione è indicato con

$\underset{\mathrm{\Gamma }}{\int }\omega$

Pertanto, una 1-forma è integrabile su una curva, una 2-forma su una superficie, e così via.

Le 1-forme sono di fondamentale importanza in molti settori dell'analisi matematica, e in particolare in analisi complessa.

Definizione

La nozione di forma differenziale può essere introdotta in modi diversi.

In molti contesti, per utilizzare le forme differenziali è sufficiente basarsi su una definizione simile a quella di polinomio: una forma differenziale è semplicemente una scrittura formale di un certo tipo. Si definiscono quindi operazioni come quella di somma, prodotto e integrale su un insieme opportuno.

Le forme differenziali possono però essere definite in modo più intrinseco usando l'algebra lineare ed i concetti di tensore e fibrato tangente. In questo modo le forme risultano definite in contesti più ampi: ad esempio, il loro dominio non è necessariamente un aperto di ${ℝ}^n$, ma una qualsiasi varietà differenziabile.

Definizione come scrittura formale

Sia $A$ un aperto di ${ℝ}^n$. Sia $k$ un intero con

$0⩽k⩽n.$

Una $k$-forma differenziale è una scrittura del tipo:

$\omega =\sum _{1⩽i_1<\dots <i_k⩽n}{a}_{i_1,\dots ,i_k}(x)d{x}_{i_1}\wedge \dots \wedge d{x}_{i_k}$

dove

$a_{i_1,\dots ,i_k}:A\to ℝ$

è una funzione differenziabile e:

$\wedge$

è chiamato prodotto wedge o prodotto esterno, da non confondere con il prodotto vettoriale $\times$, che viene talvolta indicato con lo stesso simbolo del prodotto wedge e chiamato anch'esso prodotto esterno, ma che non gode delle stesse proprietà. In particolare, il prodotto wedge è associativo, il prodotto vettoriale no. A volte, per brevità, i simboli $\wedge$ sono omessi.

Esempi

Una 0-forma è semplicemente una funzione differenziabile definita su $A$.
Una 1-forma in ${ℝ}^n$ si scrive come

$\omega =a_1(x_1,...,x_n)d{x}_1+\dots +a_n(x_1,...,x_n)d{x}_n,$

dove le $a_i$ sono opportune funzioni differenziabili. Per esempio le scritture seguenti sono 1-forme definite su ${ℝ}^2$.

${\omega }_1=2dx-3dy,{\omega }_2=e^{x}dx,{\omega }_3=xydx-y^{2}dy.$

dove nel primo esempio, i coefficienti sono funzioni costanti.
Una 2-forma in ${ℝ}^3$ si scrive come

$\omega =a(x,y,z)dx\wedge dy+b(x,y,z)dy\wedge dz+c(x,y,z)dx\wedge dz.$

Per esempio la scrittura seguente è una 2-forma su ${ℝ}^3$:

$\omega =2dx\wedge dy-xzdy\wedge dz.$

In generale una $n$-forma su ${ℝ}^n$ si scrive sempre usando un unico addendo

$\omega =a(x_1,...,x_n)d{x}_1\wedge \dots \wedge d{x}_n$

dove $a(x_1,...,x_n)$ è una funzione differenziabile.

Definizione come tensore

Una $k$-forma è una sezione liscia della $k$-esima algebra esterna del fibrato cotangente di una varietà differenziabile $M$:

$\omega :M\to {\mathrm{\Lambda }}^k(T^{*}(M)).$

In altre parole, per ogni punto $x$ di $M$ è data una funzione multilineare antisimmetrica

$\omega (x):\underset{k}{\underbrace{T_{x}M\times \cdots \times T_{x}M}}\to ℝ$

dove $T_{x}M$ è lo spazio tangente a $M$ in $x$. La funzione $\omega (x)$ varia in modo liscio (cioè è differenziabile infinite volte) al variare di $x$. Equivalentemente, $\omega$ è un campo tensoriale che associa ad ogni punto $x$ di $M$ un tensore antisimmetrico di tipo $(0,k)$.

Ad esempio, una 1-forma è un campo tensoriale di tipo $(0,1)$, cioè una sezione del fibrato cotangente.

Aperti dello spazio euclideo

Se $M$ è un insieme aperto di ${ℝ}^n$, in ogni punto lo spazio tangente $T_x(M)$ è identificato con ${ℝ}^n$. La base canonica per ${ℝ}^n$ induce quindi una base per lo spazio vettoriale ${\mathrm{\Lambda }}^k(({ℝ}^n{)}^{*})$ del tipo

$ℬ=\{d{x}_{i_1}\wedge \dots \wedge d{x}_{i_k}|1⩽i_1<\dots <i_k⩽n\}$

dove l'elemento $d{x}_{i_1}\wedge \dots \wedge d{x}_{i_k}$ rappresenta una particolare funzione multilineare antisimmetrica. Quindi l'elemento $\omega (x)$ è descritto univocamente come combinazione lineare di elementi di questa base

$\omega =\sum _{1⩽i_1<\dots <i_k⩽n}{a}_{i_1,\dots ,i_k}(x)d{x}_{i_1}\wedge \dots \wedge d{x}_{i_k}$

tramite dei coefficienti

$a_{i_1,\dots ,i_k}(x)$

che variano in modo liscio rispetto a $x$. La definizione qui introdotta coincide quindi con quella formale descritta precedentemente.

Ad esempio, se $k=1$ allora

${\mathrm{\Lambda }}^1(({ℝ}^n{)}^{*})=({ℝ}^n{)}^{*}$

è lo spazio duale dei funzionali lineari su ${ℝ}^n$ e $ℬ$ è la base duale $d{x}_1,\dots ,d{x}_n$ della base canonica. Una 1-forma associa ad ogni punto $x$ un funzionale lineare.

Carte

Se $M$ è una varietà qualsiasi, fissata una carta intorno ad un punto $x$, ogni $k$-forma $\omega$ è rappresentata come sopra. La rappresentazione dipende ovviamente dalla carta scelta.

Operazioni algebriche

Somma e prodotto per scalare

Due $k$-forme possono essere sommate, dando luogo ad una nuova $k$-forma. Una $k$-forma può inoltre essere moltiplicata per uno scalare. Con queste operazioni l'insieme delle $k$-forme su un aperto $A$ forma uno spazio vettoriale.

Prodotto esterno

Il prodotto esterno

$\omega \wedge \eta$

di una $k$-forma $\omega$ e di una $h$-forma $\eta$ è una $(k+h)$-forma. L'operazione di prodotto è definita svolgendo il prodotto usando le usuali relazioni fra somma e prodotto presenti in un anello, quali la proprietà distributiva del prodotto con la somma e la proprietà associativa del prodotto esterno. Per definizione, il prodotto esterno non è però commutativo ma anticommutativo; vale cioè la relazione seguente:

$d{x}_i\wedge d{x}_j=-d{x}_j\wedge d{x}_i\mathrm{\forall }i,j$

La proprietà anticommutativa implica che

$d{x}_i\wedge d{x}_i=0.$

I coefficienti dei $d{x}_i$ però commutano fra loro e con i $d{x}_i$. Ad esempio, se

$\omega =xdy-ydx,\eta =xdx\wedge dz$

sono una 1-forma e una 2-forma su ${ℝ}^3$, il loro prodotto esterno è

$\omega \wedge \eta =(xdy-ydx)\wedge (xdx\wedge dz)=x^{2}dy\wedge dx\wedge dz-xydx\wedge dx\wedge dz=-x^{2}dx\wedge dy\wedge dz.$

Esiste una versione del prodotto esterno nel caso in cui $\omega$ e $\eta$ siano definiti come tensori. Tale definizione sfrutta il prodotto tensoriale $\otimes$, ma non è ad esso equivalente. Ad esempio, nel caso in cui $\omega$ e $\eta$ sono due 1-forme, è definita nel modo seguente

$\omega \wedge \eta =\frac{1}{2}(\omega \otimes \eta -\eta \otimes \omega ).$

Nel caso generale la definizione è un po' più complicata:

${\omega }_1\wedge \dots \wedge {\omega }_k=\frac{1}{k!}\sum _{\sigma \in S_k}(\mathrm{sgn}\sigma ){\omega }_{\sigma 1}\otimes \dots \otimes {\omega }_{\sigma k}.$

Proprietà

Il prodotto wedge è associativo: per questo motivo si possono omettere le parentesi nella scrittura.

Il prodotto è distributivo rispetto alla somma (sia a destra che a sinistra):

$h\wedge (f+g)=h\wedge f+h\wedge g.$

L'anticommutatività usata nella definizione si estende al prodotto di due forme qualsiasi di tipo $k$ e $h$, con un segno che però dipende dal prodotto $kh$:

$f\wedge g=(-1{)}^{kh}g\wedge f.$

Derivata di una forma differenziale

Template:Vedi anche La derivata di una $k$-forma è una $(k+1)$-forma. Questa è chiamata a volte differenziale o derivata esterna. La derivata esterna $d\omega$ di una $k$-forma differenziale

$\omega =\sum _{1⩽i_1<\dots <i_k⩽n}{a}_{i_1,\dots ,i_k}(x)d{x}_{i_1}\wedge \dots \wedge d{x}_{i_k}$

è la $(k+1)$-forma

$d\omega =\sum _{i=1}^n\sum _{1⩽i_1<\dots <i_k⩽n}\frac{\partial a_{i_1,\dots ,i_k}}{\partial x_i}(x)d{x}_i\wedge d{x}_{i_1}\wedge \dots \wedge d{x}_{i_k}.$

Proprietà

La derivata esterna di una 0-forma, cioè di una funzione differenziabile, coincide con il differenziale della funzione.

La derivazione esterna è un'operazione lineare. In altre parole,

$d(a\omega +b\mu )=a\cdot d\omega +b\cdot d\mu$

dove però $a,b$ sono scalari e non funzioni. Rispetto al prodotto esterno si comporta nel modo seguente:

$d(\omega \wedge \eta )=d\omega \wedge \eta +(-1{)}^{\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{g}\omega }(\omega \wedge d\eta ).$

Infine, la proprietà forse più importante della derivazione è la seguente

$d^2=0$

che segue dal teorema di Schwarz.

Forme chiuse ed esatte

Una forma differenziale $\omega$ è chiusa se la sua derivata esterna è nulla:

$d\omega =0$

Ad esempio, ogni forma avente coefficienti costanti è chiusa.

Una $k$-forma $\omega$ è invece esatta se esiste una $(k-1)$-forma $\eta$ tale che

$d\eta =\omega .$

La forma $\eta$ è detta primitiva di $\omega$.

Le forme differenziali chiuse e le forme differenziali esatte sono rispettivamente nel nucleo e nell'immagine della derivata esterna.

Poiché $d^2\eta =0$, ogni forma esatta è chiusa. D'altra parte, esistono forme chiuse che non sono esatte: l'esistenza di queste forme dipende fortemente dalla topologia dell'aperto $A$ di definizione. A tal proposito, il lemma di Poincaré stabilisce che se $X\subset {ℝ}^n$ è un sottoinsieme aperto e contraibile allora ogni p-forma differenziale chiusa e liscia definita su $X$ è una forma differenziale esatta per ogni intero $p>0$.

Forme lineari

Una 1-forma differenziale

$\omega =a_{1}d{x}_1+\dots +a_{n}d{x}_n,$

è chiusa se e solo se vale l'uguaglianza

$\frac{\partial a_j}{\partial x_i}=\frac{\partial a_i}{\partial x_j}$

per ogni $i,j$.

Forme lineari e domini semplicemente connessi

La condizione di chiusura è di tipo locale (alcune uguaglianze devono essere verificate puntualmente), mentre quella di esattezza è di tipo globale (esistenza di una primitiva definita su tutto l'aperto $A$). La differenza fra le due condizioni dipende dalle differenze fra proprietà locali e globali dell'aperto $A$, ovvero dalla sua topologia.

Se $A$ è semplicemente connesso, allora ogni 1-forma chiusa è esatta. Questo accade ad esempio se $A$ è la parte interna di un disco o di un più generale insieme convesso o stellato in ${ℝ}^n$. In questo caso le proprietà topologiche globali non sono molto differenti da quelle locali.

D'altra parte, la forma seguente

$\omega =\frac{y}{x^2+y^2}dx-\frac{x}{x^2+y^2}dy$

definita nell'aperto del piano

$A={ℝ}^2\setminus \{(0,0)\}$

è chiusa ma non esatta. L'aperto $A$ non è semplicemente connesso: ha un "buco", ed il suo gruppo fondamentale è $\mathbb{Z}$. Questa forma è nota come "vortice", per la particolare forma assunta dai vettori del campo vettoriale associato.

Forme lineari e analisi complessa

Le 1-forme nel piano ${ℝ}^2$ sono uno strumento fondamentale dell'analisi complessa. Dopo aver identificato ${ℝ}^2$ con il piano complesso $ℂ$, è possibile definire una 1-forma complessa

$f(z)dz=f(x+iy)dx+if(x+iy)dy$

a partire da una qualsiasi funzione

$f:A\to ℂ.$

definita su un aperto $A$ del piano complesso. Si tratta di un'usuale 1-forma, avente però come coefficienti delle funzioni a valori complessi invece che reali. Tale strumento si rivela utile per il fatto seguente: se $f$ è una funzione olomorfa su un aperto $A$ del piano, allora la forma $f(z)dz$ risulta essere chiusa. Inoltre $f(z)dz$ è esatta con primitiva $g(z)$ se e solo se $g(z)$ è anch'essa olomorfa con derivata complessa $g^{\prime }(z)=f(z)$ pari a $f(z)$.

In questo contesto risulta più semplice costruire una forma chiusa ma non esatta. La forma

$f(z)=\frac{1}{z}dz$

definita sull'aperto

$A=ℂ\setminus \{0\}$

è chiusa (perché $1/z$ è olomorfa) ma non esatta: la funzione $1/z$ non ammette infatti una primitiva su tutto $A$, ma solo in un suo qualsiasi sottoinsieme semplicemente connesso. In altre parole, il logaritmo complesso, naturale candidato come primitiva di $1/z$, può essere definito solo localmente (oppure globalmente come funzione polidroma): ciò è a sua volta riconducibile al fatto che la funzione esponenziale complessa non è iniettiva.

Valgono le uguaglianze seguenti

$f(z)dz=\frac{x-iy}{x^2+y^2}dx+\frac{y+ix}{x^2+y^2}dy=$

$=[\frac{x}{x^2+y^2}dx+\frac{y}{x^2+y^2}dy]+i[-\frac{y}{x^2+y^2}dx+\frac{x}{x^2+y^2}dy]$

che mostrano che l'esempio dato precedentemente di forma chiusa ma non esatta è (a meno di segno) la parte immaginaria di $f(z)dz$.

Integrazione di una forma differenziale

La proprietà più importante che caratterizza una $k$-forma è il fatto che possa essere integrata su una qualsiasi sottovarietà differenziabile $S$ di dimensione $k$ dell'aperto $A$ su cui è definita. L'integrale di $\omega$ è indicato con il simbolo

$\underset{S}{\int }\omega$

ed il risultato di questa operazione è un numero reale.

Se $k=0$, la forma è una funzione, $S$ è un'unione di punti e l'integrale di $\omega$ su $S$ è semplicemente la somma dei valori di $f$ assunti sui punti.

In generale la forma è del tipo

$\omega =\sum a_{i_1,\dots ,i_k}(x)d{x}_{i_1}\wedge \cdots \wedge d{x}_{i_k}$

Se $S$ ha una parametrizzazione del tipo

$S(u)=(x_1(u),\dots ,x_k(u))$

con $u$ variabile in un dominio $D$ di ${ℝ}^k$, l'integrale è definito come

$\underset{S}{\int }\omega =\underset{D}{\int }\sum a_{i_1,\dots ,i_k}(S(u))\frac{\partial (x_{i_1},\dots ,x_{i_k})}{\partial (u_1,\dots ,u_k)}d{u}_1\dots d{u}_k$

dove

$\frac{\partial (x_{i_1},\dots ,x_{i_k})}{\partial (u_1,\dots ,u_k)}$

è il determinante dello jacobiano. Con questa definizione, il risultato dell'integrale non dipende dalla parametrizzazione scelta, a meno di segno. Per ottenere un segno univoco si deve fissare un'orientazione su $S$ e considerare solo le parametrizzazioni che preservano l'orientazione.

Se la sottovarietà $S$ è orientabile ma non ha una parametrizzazione globale (ad esempio, un toro in ${ℝ}^3$), l'integrale su $S$ è definito come somma di integrali su parametrizzazioni locali disgiunte (mantenenti l'orientazione) che coprono $S$ a meno di un insieme di misura nulla.

Proprietà di base

Valgono le proprietà seguenti. Come tutti gli integrali, l'integrale su due oggetti disgiunti è la somma degli integrali su ciascuno:

$\underset{S_1\bigsqcup S_2}{\int }\omega =\underset{S_1}{\int }\omega +\underset{S_2}{\int }\omega .$

L'integrale è inoltre lineare (i coefficienti $a,b$ sono costanti):

$\underset{S}{\int }(a\omega +b\eta )=a\underset{S}{\int }\omega +b\underset{S}{\int }\eta .$

L'integrale cambia di segno se l'orientazione della varietà è modificata:

$\underset{-S}{\int }=-\underset{S}{\int }.$

Teorema di Stokes

Il teorema di Stokes esprime una relazione fondamentale fra la derivazione esterna e l'integrazione. Se $\omega$ è una $(n-1)$ forma con supporto compatto su una varietà con bordo compatta $M$, vale la relazione

$\underset{M}{\int }d\omega =\underset{\partial M}{\int }\omega .$

Il teorema di Stokes implica il fatto seguente: l'integrale di una $k$-forma esatta su una varietà chiusa è nullo. In questo caso infatti il bordo non esiste e quindi il secondo termine è zero.

Integrale di linea

Template:Vedi anche Una 1-forma $\omega$ è integrabile su una qualsiasi sottovarietà orientata di dimensione 1, cioè una curva $\gamma$. L'integrale di $\omega$ lungo $\gamma$ può essere calcolato con la formula seguente:

$\underset{\gamma }{\int }\omega =\underset{c}{\overset{d}{\int }}⟨\omega (\gamma (t)),\frac{d\gamma }{dt}(t)⟩dt$

e non dipende dalla particolare parametrizzazione della curva (cambia di segno se la parametrizzazione cambia l'orientazione). Nel caso in cui l'aperto $A$ sia contenuto nel piano ${ℝ}^2$, la forma è del tipo

$\omega =a(x,y)dx+b(x,y)dy$

e l'integrale si calcola nel modo seguente:

$\underset{\gamma }{\int }\omega =\underset{c}{\overset{d}{\int }}[a(x(t),y(t))\cdot x^{\prime }(t)+b(x(t),y(t))\cdot y^{\prime }(t)]\cdot dt$

L'integrale di linea è uno strumento strettamente collegato alle nozioni di forma chiusa e esatta. Valgono infatti i fatti seguenti.

• Se $\omega$ è esatta, l'integrale di $\omega$ su una curva chiusa qualsiasi è nullo. Questo discende dal teorema di Stokes.
• Conseguentemente, se $\omega$ è esatta, l'integrale su una curva non chiusa dipende solo dai suoi estremi.

Ad esempio, la funzione $1/z$ su ${ℂ}^{*}$ non è esatta, poiché

$\underset{\gamma }{\int }\frac{1}{z}=2\pi i$

per ogni curva $\gamma$ avente indice di avvolgimento 1 con l'origine.

Bibliografia

• Nicola Fusco, Paolo Marcellini, Carlo Sbordone, Lezioni di analisi matematica due, Zanichelli, 2020, ISBN 9788808520203

• Template:Cita libro

Voci correlate

• Derivata
• Integrale
• Curva (matematica)
• Integrale di linea
• Algebra di Grassmann
• Varietà (geometria)
• 1-forma
• Forma di volume