1-forma

Template:S In algebra lineare, una 1-forma su uno spazio vettoriale è sinonimo di funzionale lineare su tale spazio. In tale contesto, la dicitura "1-forma" è solitamente utilizzata per distinguere i funzionali lineari da funzionali multilineari di grado maggiore (una forma multilineare di grado n è un'espressione polinomiale che è lineare rispetto a tutte le n variabili su cui è definita).

In geometria differenziale, una 1-forma differenziale su una varietà differenziabile è una sezione liscia del fibrato cotangente, lo spazio duale del fibrato tangente. In modo equivalente, una 1-forma su una varietà $M$ è una funzione liscia $\alpha$ definita dallo spazio totale del fibrato tangente di $M$ a $ℝ$ la cui restrizione ad ogni fibra è un funzionale lineare sullo spazio tangente. In simboli:

$\alpha :TM\to ℝ{\alpha }_x=\alpha {|}_{T_{x}M}:T_{x}M\to ℝ$

dove ${\alpha }_x$ è lineare.

Spesso le 1-forme sono descritte localmente come combinazioni lineari dei differenziali delle coordinate:

${\alpha }_x=f_1(x)d{x}_1+f_2(x)d{x}_2+\cdots +f_n(x)d{x}_n$

dove $f_i$ sono funzioni lisce. Da questo punto di vista, una 1-forma obbedisce ad una legge di trasformazione covariante per cambiare sistema di coordinate. Si tratta quindi di un campo tensoriale covariante di ordine 1.

Differenziale di una funzione

Template:Vedi anche Sia $U\subseteq ℝ$ un insieme aperto, ad esempio un intervallo $(a,b)$, e si consideri una funzione differenziabile $f:U\to ℝ$, con derivata $f^{\prime }$. Il differenziale $df$ di $f$, nel punto $x_0\in U$, è definito come una trasformazione lineare della variabile $dx$ data da:

$df(x_0,dx):dx\mapsto f^{\prime }(x_0)dx$

Il simbolo $dx$ è quindi un argomento (variabile indipendente) della funzione $df$. La mappa $x\mapsto df(x,dx)$ associa quindi ogni punto al funzionale lineare $df(x,dx)$. Si tratta del più semplice esempio di 1-forma differenziale.

Bibliografia

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Voci correlate

• Differenziale (matematica)
• Fibrato cotangente
• Fibrato tangente
• Forma differenziale
• Forma di volume
• Funzionale lineare
• Funzione liscia
• Spazio duale
• Varietà differenziabile

Collegamenti esterni

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