Palla (matematica)

Template:F In matematica, una palla (bolla o intorno circolare) è un sinonimo di sfera, che le viene preferito nel caso di spazi non tridimensionali e per gli spazi metrici in generale.

Un sinonimo per palla in geometria e topologia, e in ogni dimensione, è disco; tuttavia, una palla tridimensionale è chiamata generalmente sfera, e una palla bidimensionale (ad esempio un cerchio nel piano) è chiamata generalmente disco.

Spazi metrici

Sia $M$ uno spazio metrico. La palla (aperta) di raggio $r>0$ centrata nel punto $p$ di $M$ è definita come

$B_r(p)=\{x\in M\mid d(x,p)<r\},$

dove $d$ è la distanza o metrica. Se il simbolo di minore ($<$) è sostituito dal simbolo di minore o uguale ($\le$), la definizione precedente diventa quella di una palla chiusa:

${\overline{B}}_r(p)=\{x\in M\mid d(x,p)\le r\}.$

Occorre comunque prestare attenzione al fatto che la chiusura di una palla aperta $B_r(p)$ in generale non coincide con la palla chiusa ${\overline{B}}_r(p)$, bensì è inclusa. D'altronde, un elemento $x$ di $B_r(p)$ appartiene alla sua chiusura se e solo se esiste una successione di elementi di $B_r(p)$ di cui $x$ è il limite. Può essere che $d(x,p)\le r$ ma non esistere una successione suddetta.

Nota in particolare che una palla (aperta o chiusa) include sempre $p$ stesso, poiché $r>0.$ Una palla unitaria (aperta o chiusa) è una palla di raggio 1.

Nello spazio euclideo $n$-dimensionale con l'ordinaria metrica euclidea, se lo spazio è la retta, la palla è un intervallo, e se lo spazio è il piano, la palla è il disco interno a un cerchio. Gli oggetti a quattro dimensioni e superiori sono chiamati iperpalla e ipersfera. Vedi quest'ultima per "volume" e "area".

Con altre metriche la forma di una palla può essere differente, ad esempio:

• in 2 dimensioni:
  • con la norma 1 (cioè nella geometria Manhattan) una palla è un quadrato con le diagonali parallele agli assi coordinati;
  • con la distanza di Chebyshev una palla è un quadrato con i lati paralleli agli assi coordinati;
• in 3 dimensioni:
  • con la norma 1 una palla è un ottaedro regolare con le diagonali interne parallele agli assi coordinati;
  • con la distanza di Chebyshev una palla è un cubo con gli spigoli paralleli agli assi coordinati.

Nota che in molti casi le palle ruotate non sono palle.

Nozioni correlate

Le palle aperte, rispetto a una metrica $d$ formano una base per la topologia indotta da $d$ (per definizione). Questo significa tra l'altro che tutti gli insiemi aperti in uno spazio metrico possono essere scritti come unione di palle aperte.

Un sottoinsieme di uno spazio metrico è limitato se è contenuto in una palla. Un insieme è totalmente limitato se, dato un qualsiasi raggio, è coperto da un numero finito di palle di quel raggio.

Spazi topologici

In uno spazio topologico, una palla (aperta o chiusa) è un sottoinsieme omeomorfo alla palla euclidea (aperta o chiusa) descritta sopra, ma talvolta privo della sua metrica. Una palla è nota per la sua dimensione: una palla $n$-dimensionale è detta $n$-palla e indicata con $B^n$ o $D^n$. Per $n$ e $m$ distinti, una $n$-palla non è omeomorfa a una $m$-palla. Una palla può non essere liscia; se è liscia, non è necessario che sia diffeomorfa a una palla euclidea.

Voci correlate

• Spazio metrico
• Sfera
• Ipersfera
• Sfera unitaria
• Sfera di Alexander
• Varietà (geometria)

Collegamenti esterni

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