Logaritmo complesso

Grafico del logaritmo complesso. L'altezza descrive la parte immaginaria del logaritmo, mentre l'angolo è determinato dal colore.

Il logaritmo complesso è un'estensione della funzione logaritmo al campo dei numeri complessi.

Per i numeri reali si ha la seguente relazione:

$y=\ln (x)\iff x=e^y\text{ con }x\in {ℝ}^{+},y\in ℝ.$

Tale relazione può essere utilizzata per estendere il logaritmo al campo complesso:

$w=\ln (z)\iff z=e^w\text{ con }w,z\in ℂ,$

con l'unica condizione $z\ne 0$. Quest'ultima relazione permette di ottenere un'espressione esplicita per $\ln (z)$. Scrivendo $z$ in forma esponenziale

$z=\rho e^{i\theta },$

segue che

$\rho e^{i\theta }=z=e^w=e^{u+iv}=e^u\cdot e^{iv},$

dove $u$ e $v$ rappresentano, rispettivamente, parte reale e immaginaria dell'incognita $\ln (z)$. Dalla precedente catena di uguaglianze seguono le seguenti relazioni che determinano $u$ e $v$:

$|z|=\rho =e^u⟹u=\ln |z|$

$e^{i\theta }=e^{iv}⟹v=\arg (z)$

Si può quindi scrivere

$\ln (z)=\ln |z|+i\arg (z).$

Si nota che il logaritmo complesso assume infiniti valori dato che $\arg (z)$ contiene tutti i numeri del tipo $\theta +2k\pi$, con $k\in \mathbb{Z}.$ Per tale motivo esso non è propriamente una funzione ma una cosiddetta funzione polidroma.

Curiosità sul logaritmo complesso

Template:Curiosità Ricordando l'Identità di Eulero: $e^{i\pi }=-1$, è facile ottenere una curiosa, quanto affascinante, definizione di $\pi$: applicando il logaritmo si ha infatti:

$\ln (e^{i\pi })=\ln (-1)$

$i\pi =\ln (-1)$

$\pi =\frac{\ln (-1)}{i}$

$\pi =-i\ln (-1).$

Il numero trascendente $\pi$ è così descritto in termini di quantità complesse, e logaritmi apparentemente impossibili. Per spiegare l'impossibilità solo apparente di ciò, si può all'inverso applicare la definizione di logaritmo complesso principale a $-1$:

$\ln (-1)=\ln |-1|+i\text{ arg}(-1)=\ln 1+i\pi =0+i\pi =i\pi$

e si ricava nuovamente

$\frac{\ln (-1)}{i}=\pi .$

Logaritmo principale

Per poter considerare il logaritmo complesso come una funzione è necessario definire il suo valore principale:

$\text{Ln}(z)=\ln |z|+i\arg (z)\text{ con }-\pi <\arg (z)\le \pi .$

Il Logaritmo principale è analitico su tutto $ℂ$ escluso l'origine (dove il logaritmo non è definito) e il semiasse reale negativo (dove l'argomento ha un salto di discontinuità pari a $2\pi$).

Voci correlate

• Logaritmo
• Esponenziale complesso
• Funzione di variabile complessa
• Funzione polidroma