Trasformazione naturale

In teoria delle categorie una trasformazione naturale è una freccia tra funtori "paralleli".

che rende possibile definire la categoria ${ℬ}^{𝒜}$ di tutti i funtori

$F:𝒜⟶ℬ$

tra due categorie $𝒜,ℬ$ assegnate.

Definizione

Siano

$F:𝒜⟶ℬ$

$G:𝒜⟶ℬ$

due funtori tra le categorie $𝒜$ e $ℬ$.

Una trasformazione naturale $\alpha :F⟹G$ è una collezione

$\{{\alpha }_X:FX⟶GX{\}}_{X\in {𝒜}_0}$

di frecce di $ℬ$ indicizzate dagli oggetti di $𝒜$ e tale che il seguente diagramma commuta per ogni freccia $f:X⟶Y$ di $𝒜$:

cioè   $Gf\cdot {\alpha }_X={\alpha }_Y\cdot Ff$.

Composizione orizzontale

Siano date le trasformazioni naturali

$\alpha :F⟹G$

$\beta :H⟹K$

ove $F,G$ sono funtori tra due categorie $𝒜,ℬ$, mentre $H,K$ sono funtori tra due categorie $ℬ,𝒞$.

Se ne può definire la composizione orizzontale

come quella trasformazione naturale $\gamma =\beta \circ \alpha$ le cui frecce, nella categoria $𝒞$, siano definite in uno dei due modi equivalenti:

${\gamma }_X={\beta }_{GX}\cdot H{\alpha }_X$,

${\gamma }_X=K{\alpha }_X\cdot {\beta }_{FX}$.

infatti, applicando i funtori H,K al diagramma della trasformazione naturale tra F e G otteniamo:

Composizione verticale

Siano date le trasformazioni naturali

$\alpha :F⟹G$

$\beta :G⟹H$

ove $F,G,H$ sono funtori tra due categorie $𝒜,ℬ$.

Se ne può definire la composizione verticale

come quella trasformazione naturale $\gamma =\beta \cdot \alpha$ le cui frecce, nella categoria $ℬ$, siano definite nel modo elementare:

${\gamma }_X={\beta }_X\cdot {\alpha }_X$

Categoria dei funtori

Siamo ora pronti per definire la categoria dei funtori come quella categoria ${ℬ}^{𝒜}$ che ha per oggetti tutti i funtori $F:𝒜⟶ℬ$, per frecce $\gamma$ le trasformazioni naturali tra tali funtori e la composizione di frecce sia proprio la composizione verticale poc'anzi definita.

Esempio 1

Se $Ins$ è la categoria degli insiemi e ${𝒞}^{op}$ è la categoria duale di una categoria $𝒞$ (${𝒞}^{op}$ è ottenuta invertendo tutte le frecce di $𝒞$), allora la categoria $In{s}^{{𝒞}^{op}}$ è la categoria dei prefasci su $𝒞$.

Esempio 2

Sia $\mathbf{\text{2}}=\{\bullet ⟶\bullet \}$ la categoria con due oggetti distinti e una sola freccia tra essi. Sia $\mathbb{Q}$ l'insieme ordinato dei numeri razionali visto come categoria ponendo i numeri come oggetti e le relazioni $p\le q$ come frecce $p⟶q$.

Si verifica che i funtori ${\mathbf{\text{2}}}^{{\mathbb{Q}}^{op}}$ sono le sezioni di numeri razionali (con l'aggiunta dell'insieme vuoto $\mathrm{\varnothing }$ e dell'intero $\mathbb{Q}$). Quindi abbiamo la formula notevole:

${ℝ}^{\mathbb{*}}={\mathbf{\text{2}}}^{{\mathbb{Q}}^{op}}$

ove ${ℝ}^{\mathbb{*}}$ è l'insieme ordinato dei numeri reali con l'aggiunta di $-\mathrm{\infty }$ e $+\mathrm{\infty }$.

Bibliografia

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