Associatività

Template:Nota disambigua Template:F In matematica, lTemplate:'associatività (o proprietà associativa) è una proprietà che può avere un'operazione binaria. Significa che l'ordine di valutazione è irrilevante se l'operazione appare più di una volta in un'espressione. Detta in altro modo, non sono richieste parentesi per un'operazione associativa. Si consideri ad esempio l'uguaglianza

(5+2)+1 = 5+(2+1)

Sommando 5 e 2 si ottiene 7, e sommando 1 si ottiene il risultato 8 per il membro a sinistra. Per valutare il membro a destra, si inizia a sommare 2 e 1 ottenendo 3, e quindi si somma 3 e 5 per ottenere 8 ancora. Quindi l'uguaglianza è verificata. Di fatto è verificata per tutti i numeri reali, non solo per 5, 2, e 1. Diciamo che "l'addizione nell'insieme dei numeri reali è un'operazione associativa".

Le operazioni associative sono frequenti in matematica, e infatti molte strutture algebriche richiedono esplicitamente che le loro operazioni binarie siano associative. Tuttavia, molte operazioni importanti non sono associative; un esempio comune è il prodotto vettoriale.

Definizione

Formalmente, un'operazione binaria $*$ su un insieme S è detta associativa se soddisfa la legge associativa:

$(x*y)*z=x*(y*z)\text{per ogni }x,y,z\in S.$

L'ordine di valutazione non influisce sul valore di tale espressione, e si dimostra che lo stesso vale per le espressioni che contengono un numero arbitrario di operazioni $*$. Quindi, quando $*$ è associativa, l'ordine di valutazione può essere lasciato non specificato senza causare ambiguità, omettendo le parentesi e scrivendo semplicemente:

$x*y*z.$

Esempi

Seguono alcuni esempi di operazioni associative.

• In aritmetica, l'addizione e la moltiplicazione di numeri reali sono associative, cioè,

$\begin{array}{c}(x+y)+z=x+(y+z)=x+y+z\\ (xy)z=x(yz)=xyz\end{array}\}\text{per ogni }x,y,z\in ℝ.$

• L'addizione e la moltiplicazione dei numeri complessi e dei quaternioni sono associative. La somma degli ottetti è ancora associativa, ma la moltiplicazione degli ottetti non è associativa.
• Le funzioni massimo comun divisore e minimo comune multiplo agiscono associativamente:

$\begin{array}{c}\mathrm{M.C.D.}(\mathrm{M.C.D.}(x,y),z)=\mathrm{M.C.D.}(x,\mathrm{M.C.D.}(y,z))=\mathrm{M.C.D.}(x,y,z)\\ \mathrm{m.c.m.}(\mathrm{m.c.m.}(x,y),z)=\mathrm{m.c.m.}(x,\mathrm{m.c.m.}(y,z))=\mathrm{m.c.m.}(x,y,z)\end{array}\}\text{ per ogni }x,y,z\in \mathbb{Z}.$

• L'intersezione e l'unione di insiemi:

$\begin{array}{c}(A\cap B)\cap C=A\cap (B\cap C)=A\cap B\cap C\\ (A\cup B)\cup C=A\cup (B\cup C)=A\cup B\cup C\end{array}\}\text{per tutti gli insiemi }A,B,C.$

• Se M è un dato insieme e S indica l'insieme di tutte le funzioni da M a M, allora l'operazione di composizione di funzioni su S è associativa:

$(f\circ g)\circ h=f\circ (g\circ h)=f\circ g\circ h\text{per ogni }f,g,h\in S.$

• Leggermente più in generale, dati quattro insiemi M, N, P e Q, con f: M a N, g: N a P, e h: P a Q, allora

$(f\circ g)\circ h=f\circ (g\circ h)=f\circ g\circ h$

come prima. In breve, la composizione di mappe è sempre associativa.

• Una matrice rappresenta una trasformazione lineare fra spazi vettoriali rispetto a basi fissate, e il prodotto di matrici corrisponde alla composizione delle trasformazioni lineari corrispondenti. Dunque dall'associatività della composizione di funzioni segue l'associatività del prodotto di matrici.

Non associatività

Un'operazione binaria $*$ su un insieme S che non soddisfa la legge associativa è detta non associativa. In simboli,

$(x*y)*z\ne x*(y*z)\text{per qualche }x,y,z\in S.$

Per tale operazione l'ordine di valutazione è importante. La sottrazione, la divisione e l'esponenziazione sono esempi ben noti di operazioni non associative:

$\begin{array}{c}(5-3)-2\ne 5-(3-2)\\ (4/2)/2\ne 4/(2/2)\\ 2^{(1^2)}\ne (2^1{)}^2.\end{array}$

In generale, le parentesi devono essere usate per indicare l'ordine di valutazione, se un'operazione non associativa appare più di una volta in un'espressione. Tuttavia i matematici si accordano su un particolare ordine di valutazione per molte operazioni non associative comuni. Questa è una convenzione, e non una verità matematica.

Un'operazione associativa a sinistra è un'operazione non associativa che viene valutata convenzionalmente da sinistra a destra, cioè,

$\begin{array}{c}x*y*z=(x*y)*z\\ w*x*y*z=((w*x)*y)*z\\ \text{etc.}\end{array}\}\text{per ogni }w,x,y,z\in S$

mentre un'operazione associativa a destra è valutata convenzionalmente da destra a sinistra:

$\begin{array}{c}x*y*z=x*(y*z)\\ w*x*y*z=w*(x*(y*z))\\ \text{etc.}\end{array}\}\text{per ogni }w,x,y,z\in S$

Esistono sia operazioni associative a sinistra che operazioni associative a destra; sotto sono dati alcuni esempi.

Altri esempi

Le operazioni associative a sinistra includono:

• Sottrazione e divisione di numeri reali:

$x-y-z=(x-y)-z\text{per ogni }x,y,z\in ℝ;$

$x/y/z=(x/y)/z\text{per ogni }x,y,z\in ℝ\text{ con }y\ne 0,z\ne 0.$

Le operazioni associative a destra includono le seguenti:

• Esponenziazione di numeri reali:

$x^{y^z}=x^{(y^z)}.$

La ragione per cui l'esponenziazione è associativa a destra è che un'esponenziazione associativa a sinistra ripetuta sarebbe meno pratica: ad esempio, la funzione $e^{x^2}$senza parentesi verrebbe identificata con $e^{2x}$. Le ripetizioni multiple possono (e, per chiarezza, vengono) riscritte con il simbolo di moltiplicazione:

$(x^y{)}^z=x^{(yz)}.$

• l'operatore di assegnazione in molti linguaggi di programmazione è associativo a destra, ad esempio nel caso del linguaggio C:

x = y = z; è equivalente a x = (y = z); e non a (x = y) = z;

In altre parole, l'istruzione assegna il valore di z sia a y che a x.

• nel linguaggio di programmazione APL tutte le primitive sono definite in modo da avere la stessa precedenza e sono sempre associative a destra, ad esempio:

      ⍝ ad A e C vengono assegnati degli scalari, a B un vettore, ⋄ è il separatore di statement
      A←2   ⋄   B←1 2 3 4 5   ⋄   C←1
      A×B     ⍝ moltiplica lo scalare A per ogni elemento del vettore B…
2 4 6 8 10    ⍝ … il risultato è un vettore
      B+C     ⍝ somma lo scalare C ad ogni elemento del vettore B
2 3 4 5 6
      A×B+C   ⍝ moltiplica lo scalare A per ogni elemento del vettore B+C
4 6 8 10 12
      A×(B+C) ⋄ (A×B)+C
4 6 8 10 12
3 5 7 9 11

ovvero A×B+C è equivalente a A×(B+C) e non a (A×B)+C.

Operazioni non associative per cui non è stato definito nessun ordine convenzionale di valutazione includono le seguenti:

• Prendere la media di numeri reali:

$\frac{(x+y)/2+z}{2}\ne \frac{x+(y+z)/2}{2}\ne \frac{x+y+z}{3}\text{per qualche }x,y,z\in ℝ.$

• Prendere il complemento relativo di insiemi:

$(A\mathrm{\setminus }B)\mathrm{\setminus }C\ne A\mathrm{\setminus }(B\mathrm{\setminus }C)\text{per qualche insieme }A,B,C.$

Voci correlate

• Distributività
• Commutatività
• Semigruppo
• Associatività della potenza

Collegamenti esterni

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